打家劫舍2
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问题描述
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下，今晚能够偷窃到的最高金额。
示例
示例 1：
输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,1]
输出：4
解释：你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例 3：
输入：nums = [1,2,3]
输出：3
分析
这是一个环形动态规划问题。由于第一个房屋和最后一个房屋是相邻的，因此偷窃第一个房屋就不能偷窃最后一个房屋，偷窃最后一个房屋就不能偷窃第一个房屋。因此，我们可以将问题转化为两个子问题：
- 不偷窃第一个房屋，偷窃第二个房屋到最后一个房屋之间的房屋。
- 不偷窃最后一个房屋，偷窃第一个房屋到倒数第二个房屋之间的房屋。
对于每个子问题，可以使用动态规划求解。
状态定义
定义一个一维动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示偷窃第一个房屋到第 i 个房屋时的最高金额。
状态转移方程
对于每个房屋 nums[i]，有两种选择：偷窃该房屋或者不偷窃该房屋。状态转移方程为：
dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])
初始化
需要对动态规划数组进行初始化。初始时，dp[0] = nums[0]，dp[1] = max(nums[0], nums[1])。
Java解题
class Solution {
// 主函数，计算环形盗窃计划的最大金额
public int rob(int[] nums) {
// 如果只有一个房屋，则直接返回该房屋的金额
if (nums.length == 1)
return nums[0];
// 分别计算不偷窃第一个房屋和不偷窃最后一个房屋的最大金额，取两者的较大值
return Math.max(robRange(nums, 0, nums.length - 2), robRange(nums, 1, nums.length - 1));
}
// 辅助函数，计算偷窃指定范围内房屋的最大金额
private int robRange(int[] nums, int start, int end) {
// 初始化前一个房屋的最大金额和当前房屋的最大金额
int prevMax = 0;
int currMax = 0;
// 遍历指定范围内的房屋
for (int i = start; i <= end; i++) {
// 临时保存当前房屋的最大金额
int temp = currMax;
// 更新当前房屋的最大金额，选择偷窃当前房屋或者不偷窃当前房屋
currMax = Math.max(prevMax + nums[i], currMax);
// 更新前一个房屋的最大金额
prevMax = temp;
}
// 返回偷窃指定范围内房屋的最大金额
return currMax;
}
}
总结
通过环形动态规划的思想，我们可以解决这个问题。首先将问题分解为两个子问题，然后对每个子问题使用动态规划求解，最终返回两个子问题的最大值。
