贝尔曼最优方程【BOE】

问题描述

人类在火星上发现了一种新的金属！这些金属分布在一些奇怪的地方，不妨叫它节点好了。一些节点之间有道路相连，所有的节点和道路形成了一棵树。一共有 n 个节点，这些节点被编号为 1~n 。人类将 k 个机器人送上了火星，目的是采集这些金属。这些机器人都被送到了一个指定的着落点， S 号节点。每个机器人在着落之后，必须沿着道路行走。当机器人到达一个节点时，它会采集这个节点蕴藏的所有金属矿。当机器人完成自己的任务之后，可以从任意一个节点返回地球。当然，回到地球的机器人就无法再到火星去了。我们已经提前测量出了每条道路的信息，包括它的两个端点 x 和 y，以及通过这条道路需要花费的能量 w 。我们想花费尽量少的能量采集所有节点的金属，这个任务就交给你了。

输入格式

第一行包含三个整数 n, S 和 k ，分别代表节点个数、着落点编号，和机器人个数。

接下来一共 n-1 行，每行描述一条道路。一行含有三个整数 x, y 和 w ，代表在 x 号节点和 y 号节点之间有一条道路，通过需要花费 w 个单位的能量。所有道路都可以双向通行。

输出格式

输出一个整数，代表采集所有节点的金属所需要的最少能量。

思路如下：

代码：

#include<bits/stdc++.h> 
#define endl '\n' 
using namespace std; 
typedef long long ll; 
const int N=1e5+10,mod=1e9+7;//(1ll<<63)-1 

vector<pair<int,int> >e[N]; 
int dp[N][15]; 
int n,s,k; 
void dfs(int u,int fa) 
{ 
    for(int i=0;i<e[u].size();i++) 
    { 
        int v=e[u][i].first,w=e[u][i].second; 
        if(v==fa)continue; 
        dfs(v,u); 
        for(int j=k;j>=0;j--)//顺序遍历会影响后面的状态 
        { 
            dp[u][j]+=dp[v][0]+w*2;//m=0 
            for(int m=1;m<=j;m++) 
            dp[u][j]=min(dp[u][j],dp[u][j-m]+dp[v][m]+w*m); 
        } 
    } 
} 
void solve() 
{ 
    cin>>n>>s>>k; 
    for(int i=0;i<n-1;i++) 
    { 
        int u,v,w; 
        cin>>u>>v>>w; 
        e[u].push_back({v,w}); 
        e[v].push_back({u,w}); 
    } 
    dfs(s,0); 
    cout<<dp[s][k]<<endl; 
} 
int main() 
{ 
    ios::sync_with_stdio(false); 
    cin.tie(0);cout.tie(0); 
    int T=1; 
    //cin>>T; 
    while(T--) { 
        solve(); 
    } 
    return 0; 
}