学习数据结构：算法的时间复杂度和空间复杂度

算法学习——LeetCode力扣动态规划篇6

121. 买卖股票的最佳时机

121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣（LeetCode）

描述

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104

代码解析

动态规划-找到最小价格计算

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {

        if(prices.size()<=1) return 0;
        vector<int> dp(prices.size() , 0);
        int min = prices[0];
        
        for(int i=1 ; i<prices.size() ;i++)
        {
           if(prices[i] < min) min = prices[i];
           dp[i] = max( dp[i-1] , prices[i] - min );
        }

        // for(auto it:dp) cout<<it<<' ';
        return dp[prices.size()-1];
    }
};

动态规划-二维dp分析

确定dp数组以及下标的含义

• dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金
• dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

确定递推公式

• 第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
  • 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，dp[i][0] = dp[i - 1][0]
  • 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
  • 那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
• 第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
  • 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，dp[i - 1][1]
  • 第i天卖出股票，所得现金就是价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
  • 同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

dp数组如何初始化

• 那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

• dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.size() <= 1) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size() ,vector<int>(2,0) );

        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for(int i=1 ; i<prices.size() ;i++)
        {
            dp[i][0] = max( dp[i-1][0] , -prices[i] );//当天持有股票
            dp[i][1] = max( dp[i-1][1] , dp[i-1][0] + prices[i]);//当天不持有股票
        }
        return dp[prices.size()-1][1];
    }
};

122. 买卖股票的最佳时机 II

122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣（LeetCode）

描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

提示

1 <= prices.length <= 3 * 104
0 <= prices[i] <= 104

代码解析

贪心算法

核心思想是找到利润。然后利润大于0的相加

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<int> profit; 
        int result = 0;
        for(int i=1 ;i < prices.size(); i++)
        {
            if(prices[i] - prices[i-1] > 0 ) //单日利润大于0的存入
                profit.push_back(prices[i] - prices[i-1]);
        }

        for(int i=0 ; i < profit.size(); i++) //计算利润和
            result += profit[i]; 

        return result;
    }
};

动态规划

dp数组的含义：

• dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
• dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格
  即：dp[i - 1][1] - prices[i]

如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金
  即：prices[i] + dp[i - 1][0]

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.size()<=1) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size() , vector<int>( 2,0 ) );

        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i=1 ; i<prices.size() ;i++)
        {
            dp[i][0] = max( dp[i-1][0] , dp[i-1][1] - prices[i] );
            dp[i][1] = max( dp[i-1][1] , dp[i-1][0] + prices[i] );
        }
        return  dp[prices.size()-1][1];
    }
};

123. 买卖股票的最佳时机 III

123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣（LeetCode）

描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

提示

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105

代码解析

动态规划

确定dp数组以及下标的含义

1. 没操作
2. 第一次持有股票（包括之前买的和今天买的）
3. 第一次不持有股票（包括之前没买和今天卖了）
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

确定递推公式

达到持有状态，有两个具体操作：

• 第i天买入股票了，那么dp[i][1/3] = dp[i-1][0/2] - prices[i]
• 第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1/3] = dp[i - 1][1/3]

达到不持有状态，也有两个操作：

• 第i天卖出股票了，那么dp[i][2/4] = dp[i - 1][1/3] + prices[i]
• 第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2/4] = dp[i - 1][2/4]

dp数组如何初始化

• dp[0][0] = 0;
• dp[0][1/3] = -prices[0];
• dp[0][2/4] = 0;

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if(prices.size() <=1 ) return 0;
        vector<vector<int>> dp( prices.size() , vector<int>(5,0));
        int k=2;

        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];

        for(int i=1 ; i<prices.size() ;i++ )
        {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = max( dp[i-1][1] , dp[i-1][0] - prices[i] ); 
            dp[i][2] = max( dp[i-1][2] , dp[i-1][1] + prices[i] ); 

            dp[i][3] = max( dp[i-1][3] , dp[i-1][2] - prices[i] ); 
            dp[i][4] = max( dp[i-1][4] , dp[i-1][3] + prices[i] ); 
        }
        return dp[prices.size()-1][4];
    }
};