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matlab FR共轭梯度法求解无约束问题

读思意行 03-18 18:00 阅读 1

1、内容简介

75-可以交流、咨询、答疑

matlab FR共轭梯度法求解无约束问题

一维搜索 黄金搜索到单峰,单变量最小值
2、内容说明

Fletcher-Reeves共轭梯度法,简称FR法。

共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿这组方向进行搜素,求出目标函数的极小点。根据共轭方向基本性质,这种方法具有二次终止性。

对于二次凸函数的共轭梯度法:

min f(x) = 1/2 xTAx + bTx + c,

其中x∈ Rn,A是对称正定矩阵,c是常数。

具体求解方法如下:

首先,任意给定一个初始点x(1),计算出目标函数f(x)在这点的梯度,若||g1|| = 0,则停止计算;否则,令

d(1) = -▽f(x(1)) = -g1。

沿方向d(1)搜索,得到点x(2)。计算在x(2)处的梯度,若||g2|| ≠ 0,则利用-g2和d(1)构造第2个搜索方向d(2),在沿d(2)搜索。

一般地,若已知点x(k)和搜索方向d(k),则从x(k)出发,沿d(k)进行搜索,得到

x(k+1) = x(k) + λkd(k) ,

其中步长λk满足

f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k))。

此时可求出λk的显示表达

 

计算f(x)在x(k+1)处的梯度。若||gk+1|| = 0,则停止计算;否则,用-gk+1和d(k)构造下一个搜索方向d(k+1),并使d(k+1)和d(k)关于A共轭。按此设想,令

d(k+1) = -gk+1 + βkd(k),

上式两端左乘d(k)TA,并令

d(k)TAd(k+1) = -d(k)TAgk+1 + βkd(k)TAd(k) = 0,

由此得到

βk = d(k)TAgk+1 / d(k)TAd(k)。

再从x(k+1)出发,沿方向d(k+1)搜索。

在FR法中,初始搜索方向必须取最速下降方向,这一点决不可忽视。因子βk可以简化为:βk = ||gk+1||2 / ||gk||2。


3、仿真分析

4、参考论文

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