0203逆矩阵-矩阵及其运算-线性代数

文章目录

• • 一、逆矩阵的定义、性质和求法
  • 二、逆矩阵的初步应用
  • 结语

一、逆矩阵的定义、性质和求法

$$\begin{gathered} 证明： \\ A可逆，即有A^{-1}，使得A{A}^{-1}=E \\ |A{A}^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1 \\ \therefore |A|\ne 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 证明： \\ 由例10知 \\ A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E \\ \because |A|\ne 0 \\ \therefore A\frac{A^{\ast }}{|A|}=\frac{A^{\ast }}{|A|}A=E \\ 按逆矩阵的定义，有矩阵A可逆，且 \\ {A}^{-1}=\frac{A^{\ast }}{|A|} \end{gathered}$$

逆矩阵满足下述运算规律：

1. 若A可逆，则$A^{-1}$亦可逆，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$;
2. 若A可逆，输入$\lambda \ne 0$，则$\lambda A$可逆，且$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$
3. 若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
4. 若A可逆，则$A^T$可逆，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

当A可逆时，还可定义

$A^0=E,A^{-k}=(A^{-1}{)}^k$

其中k为正整数，这样当A可逆$\lambda ,\mu$为整数时，有

$A^{\lambda }{A}^{\mu }=A^{\lambda +\mu },(A^{\lambda }{)}^{\mu }=A^{\lambda \mu }$

例11 求二阶矩阵
$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$
的逆矩阵。
$$\begin{gathered} 解： \\ |A|=ad-bc \\ A\ast =\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right) \\ 当|A|\ne 0使,A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast } \\ =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right) \end{gathered}$$

二、逆矩阵的初步应用

可逆矩阵在线性代数中占有重要的地位，它的应用是多方面的，下面举几个例子。

例13 设
A = ( 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ) , B = ( 2 1 5 3 ) , C = ( 1 3 2 0 3 1 ) A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&2&1\\ 3&4&3\\ \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} 2&1\\ 5&3\\ \end{pmatrix} ,C=\begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix}\\ A= ​123​224​313​ ​,B=(25​13​),C= ​123​301​ ​
求矩阵X使其满足$AXB=C$
解： 若 A − 1 , B − 1 存在，则 C = A A − 1 C B − 1 B 有 X = A − 1 C B − 1 ∣ A ∣ = 2 , ∣ B ∣ = 1 , 所以 A − 1 , B − 1 存在 A − 1 = ( 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ) , B − 1 = ( 3 − 1 − 5 2 ) X = A − 1 C B − 1 = ( 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ) ( 1 3 2 0 3 1 ) ( 3 − 1 − 5 2 ) = ( 1 1 0 − 2 0 2 ) ( 3 − 1 − 5 2 ) = ( − 2 1 10 − 4 − 10 4 ) 解：\\ 若A^{-1},B^{-1}存在，则\\ C=AA^{-1}CB^{-1}B\\ 有X=A^{-1}CB^{-1}\\ |A|=2,|B|=1,所以A^{-1},B^{-1}存在\\ A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,B^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ X=A^{-1}CB^{-1}= \begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&-2\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -2&1\\ 10&-4\\ -10&4\\ \end{pmatrix} 解：若A−1,B−1存在，则C=AA−1CB−1B有X=A−1CB−1∣A∣=2,∣B∣=1,所以A−1,B−1存在A−1= ​1−23​1​3−31​−225​−1​ ​,B−1=(3−5​−12​)X=A−1CB−1= ​1−23​1​3−31​−225​−1​ ​ ​123​301​ ​(3−5​−12​)= ​100​1−22​ ​(3−5​−12​)= ​−210−10​1−44​ ​

例14 设
$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),AP=P\Lambda ,求A^n$$

$$\begin{gathered} 解: \\ |P|=2 \\ {p}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right) \\ A=P\Lambda P^{-1},A^2=P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}=P{\Lambda }^2{P}^{-1},\cdots ,A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1} \\ \Lambda ==\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),{\Lambda }^2==\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^2\end{array}\right),\cdots ,{\Lambda }^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right) \\ {A}^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^n\end{array}\right)\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 1\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc}2-2^n& 2^n-1\\ 2-2^{n+1}& 2^{n+1}-1\end{array}\right) \end{gathered}$$

设$\varphi (x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m为x的m$次多项式，A为$n$阶矩阵，记

$\varphi (A)=a_{0}E+a_{1}A+\cdots +a_m{A}^m$

$\varphi (A)$为矩阵A的m次多项式。

矩阵$A^k、A^l和E$都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式$\varphi (A)和f(A)$也是可交换的，即总有

​ $\varphi (A)f(A)=f(A)\varphi (A)$

从而A的几个多项式可以像数$x$的多项式一样相乘或者分解因式。

1. 如果$A=P\Lambda P^{-1}，则A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$，从而$\varphi (A)=P{a}_{0}E{P}^{-1}+P{a}_1\Lambda P^{-1}+\cdots +P{a}_m{\Lambda }^m{P}^{-1}=P\varphi (\Lambda )P^{-1}$

2. 如果$\Lambda =diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$为对角矩阵，则${\Lambda }^k=diag({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)$,从而
   $$\begin{gathered} \varphi (\Lambda )=a_{0}E+a_1\Lambda +\cdots +a_m{\Lambda }^m \\ =diag(\varphi ({\lambda }_1),\varphi ({\lambda }_2),\cdots ,\varphi ({\lambda }_n)) \end{gathered}$$

例15 设
P = ( − 1 1 1 1 0 2 1 1 − 1 ) , Λ = ( 1 2 − 3 ) , A P = P Λ P=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,\Lambda=\begin{pmatrix} 1&&\\ &2&\\ &&-3 \end{pmatrix} ,AP=P\Lambda\\ P= ​−111​101​12−1​ ​,Λ= ​1​2​−3​ ​,AP=PΛ
求$\varphi (A)=A^3+2A^2-3A$
解： ∣ P ∣ = 6 A = P Λ P − 1 ϕ ( A ) = P ϕ ( Λ ) P − 1 , ϕ ( Λ ) = d i a g ( ϕ ( λ 1 k ) , ϕ ( λ 2 ) k , ⋯   , ϕ ( λ n k ) ) ϕ ( 1 ) = 0 ， ϕ ( 2 ) = 10 , ϕ ( − 3 ) = 0 ϕ ( A ) = P ϕ ( Λ ) P − 1 = ( − 1 1 1 1 0 2 1 1 − 1 ) ( 0 10 0 ) 1 ∣ P ∣ P ∗ 5 ( 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ) 解：\\ |P|=6\\ A=P\Lambda P^{-1}\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda) P^{-1},\phi(\Lambda)=diag(\phi(\lambda_1^k),\phi(\lambda_2)^k,\cdots,\phi(\lambda_n^k))\\ \phi(1)=0，\phi(2)=10,\phi(-3)=0\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda)P^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&&\\ &10&\\ &&0\\ \end{pmatrix} \frac{1}{|P|}P^*\\ 5\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&1\\ \end{pmatrix} 解：∣P∣=6A=PΛP−1ϕ(A)=Pϕ(Λ)P−1,ϕ(Λ)=diag(ϕ(λ1k​),ϕ(λ2​)k,⋯,ϕ(λnk​))ϕ(1)=0，ϕ(2)=10,ϕ(−3)=0ϕ(A)=Pϕ(Λ)P−1= ​−111​101​12−1​ ​ ​0​10​0​ ​∣P∣1​P∗5 ​101​000​101​ ​

结语

参考：

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p39-44.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p10.