AVL树
1. AVL树的概念
下面我们通过探究AVL树的特点来了解它。
2. AVL树的特点
我们将AVL树的名字拆开，很容易就知道它到底是一棵什么样的树：自平衡的、二叉树、搜索树，所以它的特点有：
- 搜索树：任意一棵子树，它的左子树的所有节点都比根节点小，且右子树的所有节点都比根节点大；在搜索树中，我们有K型搜索树和K/V型搜索树，AVL树同样有这两种。
- 自平衡的：任意一棵子树，左子树和右子树的高度差不超过1，一旦超过1，就会自行进行树旋转操作，使得这棵AVL树的左右子树高度差不超过1。
- 二叉树：AVL树的数据结构中有三个指针，分别指向左孩子、右孩子、父节点；此外，部分AVL树的实现中，存在一个整形变量平衡因子，用以辅助实现自平衡功能（关于平衡因子，后文会进行解释）。
- 时间复杂度：查找、遍历、插入、删除都为O(log2N)。
在AVL树众多特点中，我们最最需要关注的是：AVL树是如何实现自平衡的？下面，我们就来揭开AVL树自平衡的神秘面纱。
3. AVL树的自平衡
AVL树如何实现自平衡呢？
实现自平衡，涉及到两个概念，一个是平衡因子，另一个是旋转，平衡因子用来记录AVL树是否平衡，旋转则是让不平衡的AVL树变得平衡。
3.1 平衡因子
-
平衡因子（
b
a
l
a
n
c
e
f
a
c
t
o
r
，简称
b
f
）
=
右子树的高度
−
左子树的高度
平衡因子（balance factor，简称bf）= 右子树的高度 - 左子树的高度
平衡因子（balancefactor，简称bf）=右子树的高度−左子树的高度
当然，反过来也是可以的，甚至不使用平衡因子也是可以的，我们为了理解方便，以下所有例子都是平衡因子=右子树的高度-左子树的高度。
-
对于一棵AVL树，任何一个节点的平衡因子的可能取值为
{-2,-1,0,1,2}。 -
当插入一个新的节点，它的祖先节点的平衡因子可能会受到影响，因此我们需要一路向上更新祖先节点的平衡因子。
-
以下是插入了一个新的节点后，更新平衡因子的思路：
1）如果当前节点是它的父节点parent的左孩子，说明新节点插入到了parent的左子树，左子树的高度加了一，父节点的平衡因子减一；
2）如果当前节点是它的父节点parent的右孩子，说明新节点插入到了parent的右子树，右子树的高度加了一，父节点的平衡因子加一；
3）若当前 b f = 0 bf = 0 bf=0，表示左右子树一样高，处于平衡状态，说明再往上的祖先节点们都没有受到影响，更新结束。（说明：因为AVL树每次只能插入一个节点，若更新完平衡因子后，节点X的bf变成了0，说明节点X原来的bf不是-1就是1，也就是说原本节点X的左右子树高度相差1，在插入新节点后bf变成了0，也就是给左右子树中矮的那棵子树增高了1层，就使得节点X的左右子树一样高了。对于X节点和X的祖先来说，插入了一个新节点，并没有让自己左右子树的高度差变得更大，所以也就没有必要再往上更新平衡因子了。）
4）若当前 b f = ± 1 bf = \pm1 bf=±1，表示左右子树的高度差为1（虽然不是绝对的平衡，但是满足AVL树的要求），不必进行旋转操作，需要继续向上更新平衡因子（把当前节点cur的parent作为当前节点，parent的parent作为新的parent）；
5）更新完平衡因子后，若当前 b f = ± 2 bf = \pm 2 bf=±2，表示左右子树的高度差为2，此时处于不平衡状态，需要进行旋转操作，使其平衡，旋转后更新结束。
6）更新到根节点时，更新结束。 -
值得注意的是，曾经我把平衡因子的计算方法记错了，以为 当前的 b f = 右孩子的 b f − 左孩子的 b f 当前的bf=右孩子的bf-左孩子的bf 当前的bf=右孩子的bf−左孩子的bf，导致代码出现严重的问题。其实真正的计算方法是：
平衡因子 = 右子树的高度 − 左子树的高度 平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度 平衡因子=右子树的高度−左子树的高度
3.2 旋转
当一棵AVL树的某个节点的平衡因子变成了2或-2，就需要进行旋转操作，将左右子树的高度重新变回{-1, 0, 1}之间。
旋转分为两种，一种是单旋转，另一种是双旋转。
下面，我们以插入操作来讲解旋转！
3.2.1. 单旋转（Single Rotation）
单旋又分为左单旋和右单旋，它们分别适用于不同的场景：
1）左单旋
右边“重”一点，需要把整个图像向左旋转。
核心步骤：
parent->right = curleft;
cur->left = parent;
下面我们针对h取不同的值图解分析：
-
h = 0
h=0时，有且仅有1种场景！
注意：这里新节点只能插入到cur的右边！如果插入到cur的左边，那么就需要右左双旋了！
-
h = 1
新节点有2种插入位置，因此h=1时，有2种可能场景！
注意：这里新节点可以插入到“70”的左或右，新节点“80”节点与“70”可以看做一个整体，新节点在哪个位置不影响左单旋！
-
h = 2
a子树有3种，b子树有3种，c子树有1种；新节点插入的位置有4种，因此h=2时，共有36种可能场景！
为什么a子树和b子树可以是x、y、z当中任意一种，但是c子树只可能是z呢？
原因：a子树和b子树是什么类型，对于parent而言没有任何影响，不会让parent的平衡因子变得更大，因此都可以；
但是c子树不同，对于左单旋而言，新节点必然插入到c子树当中（为什么说必然，如果插入到a子树，AVL树依旧平衡，用不着旋转，如果插入到b子树，就是双旋了，我们后面再讲），因此：
1）假设c子树是x型的
新节点有三种插入的位置，左边两个位置插入后会诱发双旋（双旋请看后面），右边一个位置插入后AVL树依旧平衡。
2）假设c子树是y型的
新节点也有三种插入的位置，新节点插入在左边后AVL树依旧平衡。
插入在右边两个位置时，c子树本身就不平衡了，
当插入在最右的位置，c子树内部进行左单旋，使AVL树平衡，这属于"h=0"，而不属于"h=2"；
当插入在右起第二个位置，c子树内部进行右左双旋，AVL树平衡，这不属于左单旋。
3）只有c子树是z型的，parent节点的平衡因子才会变成2，才会需要进行左单旋。
- h取更大的值
会有越来越多可能出现的场景。
所以需要用到左单旋的场景有无数种！
2）右单旋
同样地，右单旋与左单旋一样，仅仅是位置变化罢了。
左边“重”一点，需要把整个图像向右旋转。
核心步骤：
parent->left = curright;
cur->right = parent;
右单旋这里就不再根据不同的h值画图分析了，它与左单旋大同小异。
h=0时仅仅有1种场景；
h=1时有2种场景；
h=2时有36种场景；
h越来越大，可能的场景越来越多…
总体来说右单旋也有无数种可能场景！
3.2.2 双旋转（Double Rotation）
所谓双旋，其实就是旋转两次，一次左单旋，一次右单旋。
双旋转也分为两种：右左双旋和左右双旋。
1）右左双旋
先右单旋，后左单旋。
所有符合下图所示的AVL树结构，都会导致右左双旋！
新节点既可能插入到b子树中，也可能插入到c子树中，这两种情况都会导致右左单旋！
-
h = 0
h=0时，有且仅有这一种场景！
-
h = 1
新节点有两个可能插入的位置，因此h=1引发右左双旋有2种可能场景！
-
h = 2
a子树和d子树各有3种，b子树和c子树可能分别有2种，因此符合h=2的右左双旋共有36种可能场景！
-
h为更大的值，会有更多可能引发右左双旋的场景！
因此，双旋与单旋一样，都有无数种可能的场景！
2）左右双旋
先进行左单旋，再进行右单旋。
所有符合下图所示结构的AVL树，都会引发左右双旋！
和右左双旋一样，b子树和c子树都有可能插入新节点！
当h=0时，有且仅有1种场景；
当h=1时，有2种可能场景；
当h=2时，有36种可能场景；
当h更大，有更多种可能的场景！
因此，左右双旋也有无数种可能场景！
AVL树的删除操作，比插入操作更加复杂，它不仅仅要满足搜索树的条件（这本身就够复杂了），还要满足“平衡”，删除导致的平衡因子的判断更为复杂！能力有限，本文不对删除操作进行讲解。
4. AVL树源码（插入操作）
下面附上AVL树插入操作的源代码：
