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在这篇博客中，我们将深入探讨动态规划算法在解决两个有趣问题上的应用：第 N 个泰波那契数(Tribonacci Number)和三步问题(Three Steps Problem)。这两个问题虽然表面不同，但它们的解决方案都可以通过动态规划的技术来优雅地实现。
第 N 个泰波那契数
题目链接：第 N 个泰波那契数 (https://leetcode.cn/problems/n-th-tribonacci-number/)
题目描述
泰波那契序列 Tn 定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1
且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2。给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。
输入样例
4
输出样例
4
数据规模与约定
0 <= n <= 37
答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。
解题思路
这个问题可以通过动态规划的方法来解决。动态规划是一种解决复杂问题的方法，通过将问题分解为更简单的子问题，并存储已解决子问题的解（通常是在一个数组中），从而避免重复工作。
对于泰波那契数列来说，我们可以创建一个数组 dp，其中 dp[i] 表示第 i 个泰波那契数。由于每个泰波那契数是前三个数的和，我们可以初始化前三个泰波那契数，然后用一个循环来计算后续的数值。
C++ 程序代码
方法一：使用动态规划数组
class Solution {
public:
int tribonacci(int n) {
// 边界条件处理
if(n == 0) return 0;
if(n == 1 || n == 2) return 1;
// 初始化动态规划数组
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = dp[2] = 1;
// 使用动态规划公式填充数组
for(int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
}
// 返回结果
return dp[n];
}
};
方法二：优化空间的动态规划
class Solution {
public:
int tribonacci(int n) {
// 边界条件处理
if(n == 0) return 0;
if(n == 1 || n == 2) return 1;
// 初始化前三个泰波那契数
int a = 0, b = 1, c = 1;
// 用于临时存储计算结果
int d = 0;
// 通过迭代计算第 n 个泰波那契数
for(int i = 3; i <= n; i++) {
d = a + b + c;
a = b;
b = c;
c = d;
}
// 返回结果
return d;
}
};
在上述两种方法中，第一种方法使用了一个与输入大小 n 相同的数组来存储中间结果。第二种方法则优化了空间复杂度，只使用了固定的几个变量来实现，这在 n 非常大时非常有用。
三步问题
题目链接：三步问题 (https://leetcode.cn/problems/three-steps-problem-lcci/)
题目描述
三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有 n 阶台阶，小孩一次可以上 1 阶、2 阶或 3 阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模 1000000007。
输入样例
3
输出样例
4
数据规模与约定
n 范围在 [1, 1000000] 之间
解题思路
这个问题与泰波那契数问题类似，也可以用动态规划来解决。在这个问题中，每一步小孩可以采取的操作有三种选择，因此当前的台阶数可以从前一步、前两步或前三步中的任何一个得到。我们可以用一个动态规划数组 dp 来存储到达每一阶楼梯的方法数，并用类似的方式来填充它。
C++ 程序代码
class Solution {
public:
int waysToStep(int n) {
const int MOD = 1000000007;
// 边界条件处理
if(n == 1 || n == 2) return n;
if(n == 3) return 4;
// 初始化动态规划数组
vector<int> dp(n + 1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
dp[3] = 4;
// 使用动态规划公式填充数组
for(int i = 4; i <= n; i++) {
dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD;
}
// 返回结果
return dp[n];
}
};
这段代码首先处理了一些边界条件，然后就是核心的动态规划逻辑。注意，在每次累加时，我们都需要对 MOD 取模，以防止结果溢出。
总结
在解决这两个问题时，我们使用了动态规划的方法，通过保存子问题的解来避免重复的工作。动态规划不仅可以帮助我们提高算法的效率，还可以让我们的代码更加简洁和易于理解。希望这篇博客能帮助你更好地理解动态规划，并在未来的编程挑战中应用这个强大的工具。
