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算法时空复杂度分析:大O表示法

草原小黄河 03-14 18:00 阅读 2

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前言

算法题写完以后,面试官经常会追问一下你这个算法的时空复杂度是多少?(好像作为一名算法工程师,我日常码代码的过程中,并没有太注意这个,惭愧~但是找做后端开发的男票求证了一下,他们日常工作确实会去考虑这种问题)那么无论是为了应付面试,还是为了未来码代码可以精益求精,都还是认真的学一下时空复杂度分析方法吧!

对于为什么需要时空复杂度分析,而不是直接跑一下代码看看,看到王争大佬在《数据结构与算法之美》(墙推)里给的两个原因是:

  1. 测试结果依赖测试环境:机器的配置会十分影响你跑出的结果;
  2. 测试结果依赖数据规模的大小。

因此,我们需要一个不依赖数据规模和测试环境,帮助粗略估计算法执行效率的方法!也就是下面的大O表示法~

大O表示法

举个栗子🌰,下面这个函数的总的执行时间 T ( n ) = 1 + 2 n T(n) = 1+2n T(n)=1+2n个unit time!

def f(n: int)
	a = 0  # 1个unit time
	for i in range(n):  # n个unit time
		a += i  # n个unit time
	return a

再举个栗子🌰,下面这个函数的总的执行时间 T ( n ) = 1 + n + 2 n 2 T(n) = 1+n+2n^2 T(n)=1+n+2n2个unit time!

def g(n: int, m: int)
	a = 0  # 1个unit time
	for i in range(n):  # n个unit time
		for j in range(n): # n^2个unit time
			a += i*j  # n^2个unit time
	return a

用一个公式表示就是:
在这里插入图片描述
其中:

  • T ( n ) T(n) T(n)表示代码执行的时间;
  • n n n:表示数据规模的大小;
  • f ( n ) f(n) f(n):表示每行代码执行的次数总和
  • O O O:表示执行时间 T ( n ) T(n) T(n) f ( n ) f(n) f(n)成正比。

所以第一个例子的时间复杂度为 T ( n ) = 1 + 2 n T(n) = 1+2n T(n)=1+2n,第二个例子的时间复杂度为 T ( n ) = 1 + n + 2 n 2 T(n) = 1+n+2n^2 T(n)=1+n+2n2,这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度表示法实际上并不是具体值代码执行的时间,而是代表代码执行时间随着数据规模增长的变化趋势,所以也叫渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

当n很大时,公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略,只需要记录一个最大量级即可!因此,上例的时间复杂度可以记为: T ( n ) = O ( n ) T(n) = O(n) T(n)=O(n) T ( n ) = O ( n 2 ) T(n) = O(n^2) T(n)=O(n2)

3个时间复杂度分析原则

3个原则:

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码:
还是上面第一个例子,关注for循环这段代码就行了,a = 0这类代码都是常量级的执行时间,与 n n n无关。

def f(n: int)
	a = 0  # 1个unit time
	for i in range(n):  # n个unit time
		a += i  # n个unit time
	return a

2. 总复杂度 = 量级最大的那段代码的复杂度:
这个有点像运筹学里关键路径法的思想,只有找到了最关键/量级最大的,你去优化的时候才能发力在刀刃上~

比如下面这段代码,有一层for循环的,有两层for循环,我们去关注两层for循环的这段代码即可。

def g(n: int, m: int)
   for i in range(n):
   		pass
   		 
   a = 0  # 1个unit time
   for i in range(n):  # n个unit time
   	for j in range(n): # n^2个unit time
   		a += i*j  # n^2个unit time
   return a

3. 嵌套代码的复杂度 = 嵌套内外代码复杂度的乘积:
上面的第二个例子,两层for循环嵌套,最后的时间复杂度 = 外层for循环的复杂度乘以里面for循环的复杂度。

def g(n: int, m: int)
	a = 0  # 1个unit time
	for i in range(n):  # n个unit time
		for j in range(n): # n^2个unit time
			a += i*j  # n^2个unit time
	return a

常见的时间复杂度量级

  • 多项式量级:下图左侧;
  • 非多项式量级:下图右侧波浪线。执行时间会随着数据规模的增大而急剧增大,是非常低效的算法

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

空间复杂度

又称为渐进空间复杂度,表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系!

举个栗子🌰,空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)

def f(n: int):
	a = 2  # 1个空间存储变量,常量
	b = [] # 从下面代码可以看出时一个大小为n的数组
	for i in range(n):
		b.append(i)
	return b

参考资料

  1. 《数据结构与算法之美》王争
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