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前序知识：

(1)并查集：

并查集（畅通工程）_畅通工程并查集-CSDN博客

Note:

1.find 目的找到元素的老大（链表遍历逐层向上找）

2.merge 合并集合（实质改变集合老大，链表性质）

树：

最小生成树：

求最小路径和(Kruskal算法)：

（1）再畅通工程（最小生成树）-CSDN博客（空白图）

Note: 先排序结点距离，从小到大利用并查集找结点老大，取较小序号结点作为两结点老大

function KruskalMST(Graph):
    # 初始化化并查集（老大设为自己）

    # 边按权重从小到大排序

    从小到大利用并查集找结点老大，取较小序号结点作为两结点老大
    for each edge in Graph.edges:
        如果属于同一个集合，跳过这条边（添加这条边会形成环）。
        if ds.find_set(edge.node1) != ds.find_set(edge.node2):
            MST.append(edge)
            ds.union(edge.node1, edge.node2)
            如果最小生成树中的边数等于节点数减一，则停止添加边。
            if length(MST) == length(Graph.nodes) - 1:
                break
    return MST

（2）继续畅通工程（最小生成树+并查集）-CSDN博客（有部分边存在）

Note: 一旦路径已建好，将其长度值赋值为0，然后所有路径一致看待

function KruskalMST(Graph):
    # 初始化化并查集（老大设为自己）

    # 输出结点距离，判断是否存在，若存在，距离赋值为0

    # 边按权重从小到大排序

    从小到大利用并查集找结点老大，取较小序号结点作为两结点老大
    for each edge in Graph.edges:
        如果属于同一个集合，跳过这条边（添加这条边会形成环）。
        if ds.find_set(edge.node1) != ds.find_set(edge.node2):
            MST.append(edge)
            ds.union(edge.node1, edge.node2)
            如果最小生成树中的边数等于节点数减一，则停止添加边。
            if length(MST) == length(Graph.nodes) - 1:
                break
    return MST

（3）问题 Q: 小希的迷宫(并查集+最小生成树)-CSDN博客（知所有边，判断是否成环，同老大）

Note: 给出相应图路径，

function init(n):
    for i = 1 to n:
        parent[i] = i  # 每个节点的父节点初始化为自己
  
    #    判断是否同集合的数据再次出现，否则dec=0输出No
    rootX = find(x),rootY = find(y)
    if rootX != rootY:
        if rank[rootX] > rank[rootY]:
            parent[rootY] = rootX
        elif rank[rootX] < rank[rootY]:
            parent[rootX] = rootY
        else:
            dec=0

    #    判断所有结点老大是否相同，否则输出No
    for i = 1 to n:
        if dec1 ==1:
            if find(i) != i 
                unique_leader=find(i)
                dec1=0;
        else:
            if find(i) != unique_leader:
                dec=0

图：

最短路径：

（1）最短路径—Dijkstra算法及变式题（一个人的旅行）-CSDN博客

Note: 不断运行广度优先算法找可见点，计算并更新可见点到源点的最短距离长度

function dijkstra(Graph, source):
    dist[] = ∞ for all vertices
    prev[] = undefined for all vertices
    dist[source] = 0
    priority_queue = new MinHeap()
    priority_queue.insert(source, 0)

    while not priority_queue.isEmpty():
        u = priority_queue.extractMin()
        for each neighbor v of u:
            alt = dist[u] + weight(u, v)
            if alt < dist[v]:
                dist[v] = alt
                prev[v] = u
                priority_queue.decreaseKey(v, alt)

    return dist, prev