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数学
质因数分解
int reduce(int prime[],int pn,int n,int rest[])
{
int i,k=0;
for(i=0;i<pn;i++)
{
if (n==1) break;
if (prime[i]*prime[i]>n) {rest[k++]=n;break;}
while(n%prime[i]==0)
{
n/=prime[i];
rest[k++]=prime[i];
}
}
return k;
}
解析：
这段代码是一个名为reduce的函数，它接受四个参数：一个整数数组prime[]，一个整数pn表示数组的长度，一个整数n和一个整数数组rest[]。函数的目的是将整数n分解为质因数，并将这些质因数存储在rest[]数组中。
函数首先初始化两个变量i和k，其中i用于循环遍历prime[]数组，k用于记录rest[]数组的索引。
接下来，函数使用一个for循环遍历prime[]数组。在每次迭代中，它首先检查n是否等于1，如果是，则跳出循环。然后，它检查当前质数的平方是否大于n，如果是，则将n添加到rest[]数组中，并跳出循环。
如果当前质数的平方不大于n，则进入一个while循环。在这个循环中，只要n能被当前质数整除，就将n除以当前质数，并将当前质数添加到rest[]数组中。这个过程会一直重复，直到n不能被当前质数整除为止。
最后，函数返回k，即rest[]数组中的元素个数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,i;
cin>>n;
cout<<n<<"=";
for(i=2;i<=n;i++)
{
while(n!=i)
{
if(n%i==0)
{
cout<<i<<"*";
n=n/i;
}
else
break;
}
}
cout<<n<<endl;
return 0;
}
辗转相除法求最大公约数
inline int gcd(int a,int b)
{
if(a%b==0)
return b;
else
return (gcd(b,a%b));
}
- 简单写法：
int gcb(int a,int b){
return b==0 ? a:gcb(b,a%b);
}
最小公倍数：
int lcm(int a,int b){
return a/gcd(a,b)*b;//防溢出 ， 很妙啊 ，大家可以记一下
}
快速幂
- 模板
int qmi(int a,int b,int p)//对p取模
{
int res=1;
while(b)//只要b不为0，就一直迭代下去
{
if(b&1)res=res*a%p;//b为奇数，乘一个a到答案里
a=a*a%p,b>>=1;//底数平方，指数除以2
}
return res;
}
- 例题：数的幂次–1181
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll =long long;
ll qmi(ll a,ll b,ll p)//对p取模
{
ll res=1;
while(b)//只要b不为0，就一直迭代下去
{
if(b&1)res=res*a%p;//b为奇数，乘一个a到答案里
a=(ll)a*a%p,b>>=1;//底数平方，指数除以2
}
return res;
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
ll n,m,p;cin>>n>>m>>p;
cout<<qmi(n,m,p)<<endl;
}
return 0;
}
乘法逆元
费马小定理
逆元
乘法逆元
- 例题1：求乘法逆元
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
int t,n;
ll p=1e9+7;
ll qsm(ll a,ll b)
{
ll res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%p;
a=a*a%p;b>>=1;
}
return res%p;
}
ll inv(ll x)
{
return qsm(x,p-2);
}
int main()
{
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>n;
cout<<inv(n)<<endl;
}
return 0;
}
- 例题2：获胜的概率–3932
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1e9+7;
ll kmi(ll a,ll b)
{
ll res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%p;
a=a*a%p;b>>=1;
}
return res%p;
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
ll n,k;
cin>>n>>k;
if(k==0)
{
cout<<1<<endl;
for(int i=2;i<=n;i++) cout<<0<<endl;
}
else if(k&1)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i&1) cout<<0<<endl;
else cout<<kmi(n/2,p-2)<<endl;
}
}
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i&1) cout<<kmi((n+1)/2,p-2)<<endl;
else cout<<0<<endl;
}
}
return 0;
}
素数判定与埃式筛法
朴素素数判定法
- 例题：疑似素数-3334
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//求和
int f(int x)
{
int res=0;
while(x)res+=x%10,x/=10;
return res;
}
bool isPrime(int n)
{
if(n<2)return false;
for(int i=2;i<=n/i;i++)
{
if(n%i==0)
return false;
}
return true;
}
int main()
{
int n;cin>>n;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(isPrime(f(i)))ans++;
}
cout<<ans<<endl;
}
埃式筛法
bool vis[N];
vis[0]=vis[1]=true;//被筛掉了
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])//如果i没有被筛掉，那么进行枚举
for(int j=2*i;j<=n;j+=i)//枚举倍数 ,每次j变成i的倍数
vis[j]=ture;
}
- 例题2：小明的素数对–3205
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7;
bool shai[N];vector<int> vec;//将素数筛中杂乱的质数变成排列有序的一个集合，用vector
int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int n,ans=0;
cin>>n;
shai[0]=shai[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!shai[i])
{
vec.push_back(i);
for(int j=2*i;j<=n;j+=i) shai[j]=1;
}
}
for(int i=0;i<vec.size();i++)
for(int j=i+1;j<vec.size();j++)
{
if(!shai[vec[j]-vec[i]]) ans++;
}
cout<<ans;
return 0;
}
图论
并查集T3:真题–合根植物
- 并查集模版题：
- 注意：不要调用string库。
- 什么是并查集：处理不相交集合的合并问题。
- 用途：求连通子图，求最小生成树的Kruskal算法和求最近公共祖先等。
- 操作：
-
初始化：
-
查询与合并：
-
查询时对路径进行压缩：
-
例题
-
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
// 开始的时候定义数组
#define MAXN 20001
int fa[MAXN];
//最好不要这样定义
// 初始化
void init(int n)
{
for(int i=0;i<=n;i++)
fa[i]=i;
}
// 查询
int find(int x)
{
// 递归出口
if(x==fa[x])
return x;
else{
fa[x]==find(fa[x]);
return fa[x];
}
}
// 合并
void unionn(int i,int j)
{
int i_fa=find(i);// 找到i的祖先
int j_fa=find(j);// 找到j的祖先
fa[i_fa]=j_fa ;//i的祖先指向j的祖先
}
// 写主函数
int main()
{
int m,n,x,y,q;
scanf("%d",&n);
init(n);// 初始化这个数组
scanf("%d",&m); //有m行
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
unionn(x,y);
}
scanf("%d",&q);// 输入q行
for(int i=1;i<=q;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
if(find(x)==find(y))
printf("YES\n");
else
printf("NO\n");
}
return 0;
}
- 合根植物题解：这道题只有一个返回值，所以查询的时候注意不要增加一个返回值了。
#include<stdio.h>
int fa[1000005];
//初始化
void init(int n)
{
for (int i=1;i<=n;i++)
fa[i] = i;
}
// 查询
int find(int x)
{
if (fa[x] != x)
{
int sx = find(fa[x]);
fa[x] = sx;
}
return fa[x];
}
// 合并
void unionn(int i,int j)
{
int i_fa=find(i);
int j_fa=find(j);
fa[i_fa]=j_fa;
}
int main(void)
{
int m,n,q;
scanf("%d%d%d",&m,&n,&q);
init(m*n);
int x,y;
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
unionn(x,y);
}
//计数器的设置
int ans=0;
for(int i=1;i<=m*n;i++)
{
if(i==fa[i])
{//一个数等于链条的祖先
ans++;
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
Dijkstra
Floyd
基础算法
递归，循环，前缀和，差分
添加链接描述
STL
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