一个楼梯有50个台阶,一次可以走一个台阶,也可以走两个台阶,也可以走三个台阶,问总共有多少种走法
2013-11-26 来自:绿君 2 人回应

可能重复的问题
爬楼梯问题变种

2013-11-28 来自:KarenYeung

数学归纳法:

假设现在有K(K>=4)个阶梯,共有M种走法,现将M划分为三类a,b,c,分别表示走的最后一步迈的是1,2,3个台阶,那么有:a+b+c=M。现在只需求出有K+1个阶梯的时候有多少种走法。
(1)如果K阶梯时最后一步迈了一阶,现在多了一个阶梯,那我可以再迈一阶(1,1),或者直接迈两阶(2,0)到达终点,所以在a类情况下,K+1个阶梯共有2a种走法。
(2)如果K阶梯时最后一步迈了两阶,现在多了一个阶梯,那我可以再迈一阶(2,1),或者直接迈三阶(3,0)到达终点,所以在b类情况下,K+1个阶梯共有2b种走法。
(3)如果K阶梯时最后一步迈了三阶,现在多了一个阶梯,那么我只能再迈一阶(3,0)到达终点,所以在c类情况下,K+1个阶梯共有c种走法。
综上,K+1个阶梯的情况共有2a+2b+c=(2M-c)种走法。
所以接下来就是计算c的值,因为c表示有K个阶梯的情况下,且最后一步迈三阶的情况数(即c的值),该值等于有(K-3)个台阶的时候的走法总数(不明白的自己稍微理解下,就是这么个情况)。

当有1个台阶时,共1种走法
当有2个台阶时,共2种走法
当有3个台阶时,共4种走法
当有4个台阶时,共7种走法

int a[49];
a[0]=1,a[1]=2,a[2]=4,a[3]=7;

for(int i=4,i<50,i++ )
{
a[i] = 2a[i-1] - a[i-4] ; //即 2M - c 或 M(K+1)=2M(K)-M(k-3)
}

a[49]即是共有50个台阶的总走法数

PS: 其实还有一种解法
因为c表示有K个阶梯的情况下,且最后一步迈三阶的情况数(即c的值),该值等于有(K-3)个台阶的时候的走法总数。
a表示有K个阶梯的情况下,且最后一步迈一阶的情况数(即a的值),该值等于有(K-1)个台阶的时候的走法总数。
a表示有K个阶梯的情况下,且最后一步迈二阶的情况数(即b的值),该值等于有(K-2)个台阶的时候的走法总数。
故 M(K) = a+b+c;
M(k-1)= a;
M(k-2)= b;
M(k-3)= c;

因为M(K+1) = 2a+2b+c; 即M(K+1) = M(K) + M(K-1) + M(K-2) 也=2*M(K)-M(k-3)

后面的等式就是上面的循环实现,前面的等式可以将上面的循环可以改为:
for(int i=4,i<50,i++ )
{
a[i] = a[i-1] + a[i-2] + a[i-3] ;//即 M(K+1)=M(K)+M(K-1)+M(K-2)
}

2013-11-27 来自:发卷卷儿

就是变种的 斐波那契吧. 应该在这个问题里问过了 @爬楼梯问题变种

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