树和森林

• 树：一对多的结构（可1对0，1对1，1对多），有一个起点 ‘根结点’
• 结点：树的一个数据元素
• 孩子：1对多里的 ‘多’
• 子树：以某个孩子结点为根的一棵树
• 叶子结点：没有孩子的结点
• 森林：多棵树
  

二叉树

• 二叉树：每个结点至多有两个孩子（可以1个或0个），分别称为左孩子和右孩子
• 左孩子（若有）是左子树的根，右孩子（若有）是右子树的根
• 高度（深度）：最深的叶子结点所在层数

二叉树的重要性质

• 第i层至多有2 ^ (i - 1)个结点
• 高度为h的树至多有2 ^ h - 1个结点
  

两种特殊二叉树

• 满二叉树：装满的二叉树，高为h => 有2 ^ h - 1个结点

• 完全二叉树：只在最下一层的最右边有空缺

树/森林转换为二叉树

• 树转为二叉树：

  • 每个结点只保留第一个孩子（老大）作为左孩子，剩下的孩子（老大的兄弟们）依次接到老大的右孩子链上

• 森林转为二叉树：

  • 各树分别转为二叉树
  • 各树根用右孩子链相连

二叉树顺序存储实现

• 顺序二叉树（底层是数组）
• 顺序树中结点i的左右孩子分别是2i + 1和2i + 2（i从0开始计数）
• 若结点为空，使用特殊值（如0）表示

二叉树链式实现

• 链式树（二叉链表）
  

/*二叉树数据结构定义*/
typedef struct TreeNode
{
	int data;
	struct TreeNode *left;
	struct TreeNode *right;
} TreeNode; 

二叉树的遍历

• 遍历：按某种确定的次序逐个访问所有结点，时间复杂度是O(n)
• 先序遍历：当前结点-左子树-右子树
• 中序遍历：左子树-当前结点-右子树
• 后序遍历：左子树-右子树-当前结点
• *层序遍历：逐层从左向右遍历各个结点

二叉树先序/中序/后序遍历

• 注意：右孩子是右子树的根，左孩子是左子树的根
• 注意：一棵树是用其根结点表示的，因从根结点出发我们足以访问整棵树
  
  

先序遍历序列：A B C
中序遍历序列：B A C
后序遍历序列：B C A

先序遍历序列：3 5 4 1 9 8 2 7
中序遍历序列：5 4 1 3 8 9 2 7
后序遍历序列：1 4 5 8 7 2 9 3

哈夫曼树与哈夫曼编码

• 先学如何构建一颗哈夫曼树，在学为什么要有哈夫曼树！
• 初始时，一堆独立结点，结点有自己的权值
• 重复地让当前权值最小的两个根结点作为左右孩子，生成新的根结点，新结点权值为他们的权值之和，直至形成一颗二叉树
  
  第一步：
  
  第二步：
  
  第三步：
  
  第四步：
  
  第五步：
  
  第六步：
  

Why哈夫曼树？

• 越靠近根节点，权值越大
• 初始结点全是后来的叶子结点
• 叶子结点权值越大，离根结点越近 => 路径越短
• 有什么好处？如果把路径标上0和1…
• 每一个叶子结点有一个唯一编码（不定长）
• 思考：如果权值表示在文章中的出现频率，这种编码有什么优势？
• 最大程度节省空间！越常用的字符码长越短。
• 这就是哈夫曼编码
• 题型：给一个字符-频率表，构造哈夫曼树来求哈夫曼编码表