这道题求大圆的红色直径是多少？

这道题先简单分析一下，发现，2个半圆是固定的，如果C是动点，AC和BC的长度似乎是反向单调的。现在二者是2:3的关系，那说明整个图就是个静态图，那就不存在什么简便方法了，做辅助线把2个圆和C点都用到就能解出来了。

我们延长小圆交于大圆，出现了相似三角形，其实就是2个相似的半圆，一维比例是1:2，所以DC=4，则勾股定理得BD=根号20，最后AB就等于根号84=2根号21.。

那么估计有人要说了，我怎么知道要这么画辅助线呢？你是怎么想到这么画的呢？为什么我想不到呢？这里面涉及到多个方面的问题，首先是要不要画辅助线？肯定是要画的，这个接受过义务教育的人都知道画辅助线的必要性。下一个问题是怎么画辅助线？为什么前面我要强调几何的动静性，就是要通过有限的n个条件确定一个不动的图，一个静态稳定的图，如果有某个条件你没用到，那个条件限制就会解锁，几何图就可以变化，并影响最终结果，导致最终结果是一个范围而不是确定值，此时你的算式自然算出来也是一个范围，而不是一个定值。

所以列算式的时候一定要把所有条件都用上。

那么这道题有几个条件呢？答案是4个。分别是：小圆、2倍的大圆、2:3的比例、4或6的具体值。如果题目问的是比例关系而不是具体长度，那么只需要前三个条件就可以了。

所以按照上述做法，相似三角形用上了2个半圆，勾股定理又用上了2段长度，因此最终得到了结果。

这种辅助线做法自然也不是唯一的做法，只要用上了所有条件，任何式子都可以解出来。比如这一种做法：

设小圆半径为r，则r*CosA=2，AB=4r，在三角形ACB中运用余弦定理得16*r*r=20+32r*CosA。2个式子一消元，得到了4r=2根号21.。这种方法中，现是利用三角函数（用到了小圆和4这两个条件），然后利用余弦定理（用到了大圆和6这两个条件）。可以说，条条大路通长安，看清楚问题的本质。

所以，像余弦定理这种基本功还是要掌握的，不用担心方程式无法化解，因为无论是选择题还是填空题，出题人都不可能出初等函数以外的表达式的。