【题目链接】

ybt 1305：Maximum sum
OpenJudge 2.6 1481:Maximum sum

【题目考点】

1. 动态规划：线性动规

• 最大子段和

【解题思路】

解法1：

要在整个序列中取两个不重合的子段，分别记为子段1与子段2，记子段2的起始位置为$i$。
以$i$为分界线，将整个序列分为两部分，分别为下标$1\sim i-1$与下标$i\sim n$。

• 子段1存在于下标$1\sim i-1$范围内，子段1的和应该最大，即为所有满足$j<i$的$j$中，以$j$为结尾的最大子段和。
• 子段2以$i$起始，子段2的和应该最大，所以子段2应该为以$i$为起始的最大子段和。

基于上述思路，应该先分别求以i为结尾以及以i为起始的最大子段和
记a[i]为第i个元素

1. 求以i为结尾的最大子段和

• 状态定义：dp1[i]:以i为结尾的最大子段和
• 状态转移方程：
  分割集合：以i为结尾的子段
  • 子集1：以i-1为结尾的子段，添加第i元素，构成以i为结尾的子段。该子段的和为dp1[i]=dp1[i-1]+a[i]
  • 子集2：第i元素自己构成子段，子段和为：dp1[i]=a[i]
    以上两种情况取最大值

2. 求以i为起始的最大子段和

• 状态定义：dp2[i]:以i为起始的最大子段和
• 状态转移方程：
  分割集合：以i为起始的子段
  • 子集1：以i+1为起始的子段，添加第i元素，构成以i为起始的子段。该子段的和为dp2[i]=dp2[i+1]+a[i]
  • 子集2：第i元素自己构成子段，子段和为：dp2[i]=a[i]
    以上两种情况取最大值

注意，求该状态时，下标从大到小遍历

3 求互不重叠的两个最大子段和的最大加和

$i$从2循环到$n$
以$i$为分界线，将整个序列分为两部分，分别为下标$1\sim i-1$与下标$i\sim n$。

• 设mx表示：满足$1\le j<i$的以$j$为结尾的最大子段和dp1[j]中的最大值。$i$每次增大1后，第一段取到的新元素的下标为$i-1$。更新mx，写法为mx = max(mx, dp1[i-1])。
• 以i为起始的最大子段和为dp2[i]

mx + dp2[i]为以$i$为子段2的起始位置时能取到的最大的互不重叠的两个子段的加和。
在循环中求这个表达式求最大值，即为结果。

类似方法：也可以遍历子段1的结尾位置$i$，在满足$i<j\le n$的$j$中找以$j$为起始的和最大的子段，作为子段2。

解法2：

思路与解法1大体相同，不过使用数组记录不同区间内的最大子段和
仍然先求以i为结尾与以i为起始的最大子段和
而后构造两个数组mx1, mx2，mx1[i]表示下标$1\sim i$中的最大子段和，mx2[i]表示下标$i\sim n$中的最大子段和。
遍历分隔点$i$，分别在下标$1\sim i$与下标$i\sim n$中取最大子段和加和，求最大值。即为求mx1[i]+mx2[i+1]的最大值
注意，mx1与mx2数组初始值不能设为0，而要设为负无穷。方法为用memset函数，每字节填充0xc0。

【题解代码】

解法1：

• 遍历子段2的起始位置

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50005
#define INF 0x3f3f3f3f
int dp1[N], dp2[N], a[N];//dp1[i]:以i为末尾的子段的最大和 dp2[i]:以i为起始的子段的最大和
int main()
{
    int t, n;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        memset(dp1, 0, sizeof(dp1));
        memset(dp2, 0, sizeof(dp2)); 
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            cin >> a[i];
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            dp1[i] = max(dp1[i-1]+a[i], a[i]);
        for(int i = n; i >= 1; --i)
            dp2[i] = max(dp2[i+1]+a[i], a[i]);
        int mx = -INF, ans = -INF;//mx:1~i-1中最大子段和 ans:结果 两个不重合的子段的最大和 
        for(int i = 2; i <= n; ++i)//求1~i-1中最大子段和 与 以i开始的最大子串和 的加和的最大值
        {
            mx = max(mx, dp1[i-1]);
            ans = max(ans, mx + dp2[i]);
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

• 遍历子段1的结尾位置

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50005
#define INF 0x3f3f3f3f
int dp1[N], dp2[N], a[N];//dp1[i]:以i为末尾的子段的最大和 dp2[i]:以i为起始的子段的最大和
int main()
{
    int t, n;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        memset(dp1, 0, sizeof(dp1));
        memset(dp2, 0, sizeof(dp2)); 
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            cin >> a[i];
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            dp1[i] = max(dp1[i-1]+a[i], a[i]);
        for(int i = n; i >= 1; --i)
            dp2[i] = max(dp2[i+1]+a[i], a[i]);
        int mx = -INF, ans = -INF;//mx:i+1 ~ n中最大子段和 ans:结果 两个不重合的子段的最大和
        for(int i = n-1; i >= 1; --i)//求以i为结尾的最大子段和 与 i+1~n中最大子段和的加和的最大值 
        {
            mx = max(mx, dp2[i+1]);
            ans = max(ans, dp1[i] + mx);
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

解法2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50005
#define INF 0x3f3f3f3f
int dp1[N], dp2[N], a[N], mx1[N], mx2[N];//dp1[i]:以i为末尾的子段的最大和 dp2[i]:以i为起始的子段的最大和
int main()
{
    int t, n, ans;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        memset(dp1, 0, sizeof(dp1));
        memset(dp2, 0, sizeof(dp2)); 
        memset(mx1, 0xc0, sizeof(mx1)); //mx1[i]:dp1[1]~dp1[i]中的最大值 初始值为负无穷 
        memset(mx2, 0xc0, sizeof(mx2));//mx2[i]:dp2[i]~dp2[n]中的最大值 初始值为负无穷
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            cin >> a[i];
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            dp1[i] = max(dp1[i-1]+a[i], a[i]);
            mx1[i] = max(mx1[i-1], dp1[i]);
        }
        for(int i = n; i >= 1; --i)
        {
            dp2[i] = max(dp2[i+1]+a[i], a[i]);
            mx2[i] = max(mx2[i+1], dp2[i]);
        }
        ans = -INF;
        for(int i = 1; i < n; ++i)
            ans = max(ans, mx1[i]+mx2[i+1]);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}