目录
一、概念
l
c
m
(
a
,
b
)
=
a
b
g
c
d
(
a
,
b
)
lcm\left( a,b \right) =\frac{ab}{gcd\left( a,b \right)}
lcm(a,b)=gcd(a,b)ab
推导：
由算术基本定理得：
a
=
p
1
x
1
p
2
x
2
⋅
⋅
⋅
p
k
x
k
a=p_{1}^{x_1}p_{2}^{x_2}···p_{k}^{x_k}
a=p1x1p2x2⋅⋅⋅pkxk
b
=
p
1
y
1
p
2
y
2
⋅
⋅
⋅
p
k
y
k
b=p_{1}^{y_1}p_{2}^{y_2}···p_{k}^{y_k}
b=p1y1p2y2⋅⋅⋅pkyk则,
g
c
d
(
a
,
b
)
=
p
1
min
(
x
1
,
y
1
)
p
2
min
(
x
2
,
y
2
)
⋅
⋅
⋅
p
k
min
(
x
k
,
y
k
)
(
1
)
gcd\left( a,b \right) =p_{1}^{\min \left( x_1,y_1 \right)}p_{2}^{\min \left( x_2,y_2 \right)}···p_{k}^{\min \left( xk,yk \right)}\,\,\,\,\left( 1 \right) \,\,\
gcd(a,b)=p1min(x1,y1)p2min(x2,y2)⋅⋅⋅pkmin(xk,yk)(1)
g
c
d
(
a
,
b
)
=
p
1
min
(
x
1
,
y
1
)
p
2
min
(
x
2
,
y
2
)
⋅
⋅
⋅
p
k
min
(
x
k
,
y
k
)
(
2
)
gcd\left( a,b \right) =p_{1}^{\min \left( x_1,y_1 \right)}p_{2}^{\min \left( x_2,y_2 \right)}···p_{k}^{\min \left( xk,yk \right)}\,\,\,\,\left( 2\right) \,\,\
gcd(a,b)=p1min(x1,y1)p2min(x2,y2)⋅⋅⋅pkmin(xk,yk)(2)
（1）X （2）得：
min
(
x
i
,
y
i
)
+
max
(
x
i
,
y
i
)
=
x
i
+
y
i
\min \left( x_i,y_i \right) +\max \left( x_i,y_i \right) =x_i+y_i
min(xi,yi)+max(xi,yi)=xi+yi即：
l
c
m
(
a
,
b
)
×
g
c
d
(
a
,
b
)
=
a
b
lcm\left( a,b \right) \times gcd\left( a,b \right) =ab
lcm(a,b)×gcd(a,b)=ab
二、模板
给定两个数 a、b，求它们的最小公倍数。
int gcd(int a, int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
int lcm(int a, int b) {
return a / gcd(a, b) * b; // 先除法，再乘法，避免溢出；
}
三、例题
题：1819. 序列中不同最大公约数的数目
给你一个由正整数组成的数组 nums 。
数字序列的 最大公约数 定义为序列中所有整数的共有约数中的最大整数。
- 例如，序列
[4,6,16]的最大公约数是2。
数组的一个 子序列 本质是一个序列，可以通过删除数组中的某些元素（或者不删除）得到。
- 例如，
[2,5,10]是[1,2,1,2,4,1,5,10]的一个子序列。
计算并返回 nums 的所有 非空 子序列中 不同 最大公约数的 数目 。
示例 1：
输入：nums = [6,10,3]
输出：5
解释：上图显示了所有的非空子序列与各自的最大公约数。
不同的最大公约数为 6 、10 、3 、2 和 1 。
示例 2：
输入：nums = [5,15,40,5,6]
输出：7
提示：
1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 2 * 105
解：
解题思路：
AC代码：
class Solution {
static int[] f = new int[200001];
public int countDifferentSubsequenceGCDs(int[] nums) {
int max = Integer.MIN_VALUE;
int res = 0;
for(int num : nums){
f[num] ++;
max = (int)(Math.max(num, max));
res ++;
}
for(int i = 1; i <= max; i ++) {
if(f[i] != 0) continue;
// 枚举该数是否为里面两数的因子，保证因子不一样
int g = 0;
for(int j = i; j <= max; j += i) {
if(f[j] != 0) {
g = gcd(j, g);
if(g == i) break;
}
}
if(g == i) res ++;
}
return res;
}
// 辗转相除法获得最大公约数
public int gcd(int a, int b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
}
