树状数组详解及其应用

前言：

之前以为树状数组搞懂了，结果一个树状数组题把我打回原形，原来我只是会背模板而已。。前来复习学习一遍

为什么用树状数组

树状数组是一种存储数据的结构，通过压缩数据来达到高效的查询效率
在一些题目中需要多次查询区间和，同时更改点，如果我们暴力去更改和查询复杂度是O（n），如果用前缀和实现，虽然查询快但是更改是On，但是用树状数组维护，查询和更改都是O（logn），当然不只是单点修改+区间询问，在区间修改+区间询问，单点修改+区间最大值，逆序对查询都有很好的表现

怎么实现树状数组

树状数组怎么形成（有什么规律）

首先，树状数组和树形结构有什么关系呢

这是一颗树

这是树状数组
在这里插入图片描述
可以发现树状数组其实就是树形结构整体向右拉，树状数组中每个点包含着一个或者多个值相加的结果
那么我们把树状数组和原数组的对应关系再写详细一些，看看其中的规律
C1 = A1
C2 = C1 + A2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = C5 + A6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
可能现在看不出来规律，那我们把它写成二进制看看
在这里插入图片描述
观察树状数组中最后一位1的位置，可以发现，每个树状数组包含的原数组的个数等于树状数组二进制最后一位1和后面的数组成的数
比如6（110）最后一位1形成的数为2（10），所以C6 包含两项
因此总结出公式
C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + … + A[i];

lowbit函数（形成树状数组的关键）

刚刚所说的二进制最后一位1和后面的数组成的数，这么抽象，到底要怎么写呢
其实很简单，有两种写法

int lowbit1(int x) return x&(x^(x-1);
int lowbit2(int x) return x&-x;

这里两种写法都可以，首选第二种，因为更短，第二种巧妙利用了负数是补码的特性，
那么有了lowbi函数我们就可以轻松知道树状数组中下标为 i 包含原数组就是
[ i - lowbit（i）, i ]

实际应用

单点修改 + 区间和询问

区间询问

这是树状数组中最为经典的用法
我们已经知道树状数组中下标为 i 包含原数组就是[ i - lowbit（i）, i ]，那么我们想要求出原数组[1,i]前缀和，那每次我们都计算[ i - lowbit（i）, i ]，然后让i减去它所包含的项目个数，也就是 i -= lowbit(i),直到出现i等于0,就可能把1到i的前缀和算出来

int getsum(int ix){      //求A[1 - ix]的和
    int res = 0;
    for(int i = ix;i>0;i-=lowbit(i)){
    	res += tree[i];
    }
    return res;
}

单点修改

由于在树状数组，每个值包含的不是原数组了，当修改单点时会影响后面多个树状数组值，当你修改了i的值时，后面包含该值的所有数都会变化
因为 A[i] 包含于 C[i + 2^k]、C[(i + 2^k) + 2^k],也就是你每次修改的下标都是i+lowbit(i)

void update(int ix,int x){
	for(int i = ix;i<=n;i+=lowbit(i){
		tree[i] += x;
	}
}

所以单点修改 + 区间和询问的代码为

int A[100005],tree[400005]
int lowbit(int x) return x&-x;
void update(int ix,int x){  //在ix位置加上x值
	for(int i = ix;i<=n;i+=lowbit(i){
		tree[i] += x;
	}
}
int getsum(int ix){      //求A[1 - ix]的和
    int res = 0;
    for(int i = ix;i>0;i-=lowbit(i)){
    	res += tree[i];
    }
    return res;
}

区间修改 + 区间询问

可能你会问区间修改 + 单点询问呢？用两次区间询问相减就是单点询问了
但是如果我们只有一次单点询问，我们有更常用的方法那就是差分数组，有了这个启发，很容易去想用树状数组去实现差分数组
所以解决区间修改 + 区间询问就是差分树状数组

区间修改

对于普通的差分数组修改来说 [l,r]增加x 只需要 A[l] += x , A[r] += x,即可，那对于树状数组来说其实是一样的，树状数组就是数据结构，本质上还是个数组

void add(ll t[],ll ix,ll x){
    for(int i = ix;i<=n;i+=(i&-i)){
        t[i] += x;
    }
} 
cin>>c; 
add(tree, b + 1,-c);
add(tr,b+1,(b + 1)*-c);

区间询问

压力就给到了区间询问这边
在差分数组中我们查询单点时，需要计算前缀和，那区间询问我们就要计算多次前缀和吗？显然不用，我们来看看规律
A1 = C1
A2 = C1 + C2
A3 = C1 + C2 + C3
A4 = C1 + C2 + C3 + C4

因此我们有 $A_n = \sum_{i=1}^n C_i$

设Sn 是区间和，那么
S1 = A1
S2 = A1 + A2
S3 = A1 + A2 + A3
S4 = A1 + A2 + A3 + A4
因此我们有 $S_n = \sum_{i=1}^n A_i$
结合起来
S1 = C1
S2 = 2C1 + C2
S3 = 3C1 + 2C2 + C3
S4 = 4C1 + 3C2 + 2C3 + C4
因此我们有 $S_n = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i A_j =\sum_{i=1}^n(n-i+1)C_i=\sum_{i=1}^n(n+1)Ci-\sum_{i=1}^niC_i$
所以我们计算区间和要用两个树状数组，一个记录 i*Ci的前缀和一个记录Ci的前缀和

ACwing243. 一个简单的整数问题2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+7;
typedef long long ll;
ll tree[N],tr[N],n;
void add(ll t[],ll ix,ll x){
    for(int i = ix;i<=n;i+=(i&-i)){
        t[i] += x;
    }
} 
ll ask(ll t[],ll ix){
    ll res = 0;
    for(int i = ix;i>0;i-=(i&-i)){
        res += t[i];
    }
    return res;
}
ll A[N],m;
ll sum(ll ix){
    return (ix+1)*ask(tree,ix)-ask(tr,ix);
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    int pre = 0;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        cin>>A[i];
        add(tree,i,A[i]-A[i-1]);
        add(tr,i,i*(A[i]-A[i-1]));
    }
    while(m--){
        char ch;
        int a,b,c;
        cin>>ch>>a>>b;
        if(ch=='Q'){
            cout<<sum(b)-sum(a-1)<<endl;
        }
        else {
            cin>>c;
            add(tree,a,c), add(tree, b + 1,-c);
            add(tr,a,a*c), add(tr,b+1,(b + 1)*-c);
        }
    }
    return 0;
}

有待更新