线性代数之矩阵偏导续

矩阵偏导

针对y或者f(x)是元素，x是矩阵的情况，则元素对矩阵的求导形式如下：

那么由这个定义则有：

证明有两种方法：一种来源于矩阵偏导的定义，一种是借助矩阵迹的性质。

 借助定义

通过多变量矩阵偏导的定义来阐述，这里因为是对X的转置求偏导，所以定义里的偏导的每个分量都相应的做了转置，即是相当于对X求偏导时转置了。进而由矩阵偏导的定义得最终的结果a的转置。

 借助矩阵迹

矩阵迹的性质

矩阵的迹即矩阵主对角线之和，而且它有如下的性质：

因为这里f(x)是个标量，其定义是

这与矩阵的迹

不谋而合。

矩阵偏导结论

结论，这里不难发现：

针对多变量的标量函数

则

这里A和x可以都是矩阵。

完整证明

所以上述的证明将借助矩阵迹的性质，完整的证明见下：

Step 1 定义

Step 2 带入f     

Step 3 f是标量，直接转为矩阵迹             

Step 4 由矩阵性质3(矩阵乘交换迹不变)                  

Step 5 由矩阵性质6(矩阵转置迹不变)  

注: 这里应用到矩阵乘和转置的性质：

Step 6 由矩阵转置的性质，则有        

  Step 7  此时Step6的形式是否和一般式 

神似？而

。

注：这里表达式整理成了标准形式（只不过这里的“x”是）。

所以最终得到结果