非对称加密与RSA算法

文章目录

• 非对称加密与RSA算法
• • RSA加密算法
  • • 算法流程
    • 举例说明
  • 计算方法
  • • 拓展欧几里得算法求乘法逆元
    • 快速幂+费马小定理求乘法逆元
    • 快速幂求$m^{e}modn$

1.对称密码体系中密钥的传递存在风险,虽然信息是加密传送的,但是密钥是明文传送的(即使密钥是加密传送的,密钥的密钥也是明文传递的).一旦密钥被截获则加密失效

2.希望使用一种加密和解密不同密钥的密码体系,公钥可以明文传递,但是私钥由接收方私自持有.公钥加密只能私钥解密,私钥加密只能公钥解密

RSA加密算法

抛开原理不谈,这个非对称加密听起来挺玄学的

算法流程

1.Bob选择两个大素数p,q

2.Bob计算$n=pq,z=(p-1)(q-1)$

3.Bob选择一个$e<n,gcd(e,z)=1$

4.Bob求$e$在模z意义下的乘法逆元$d$,即求一个d,使得$edmodz=1$

5.Bob对外公布他的公钥$K_{Bob}^{+}(n,e)$,Bob自己持有私钥$K_{Bob}^{-}(n,d)$

6.Alice根据Bob的公钥$K_{Bob}^{+}(n,e)$加密她要问候Bob的话$m$(m是一个十进制整数并且小于n),方法是
$$c=m^{e}modn$$
其中c是加密后的密文,然后Alice发送密文

7.Bob在收到加密的信息c后,Bob使用自己的私钥$K_{Bob}^{-}(n,d)$解密,方法是
$$m=c^{d}modn$$
其中m是解密后的明文

举例说明

在线的RSA计算器RSA Calculator (drexel.edu)

1.Bob选择"大"素数$p=17,q=19$

2.Bob计算$n=pq=323,z=(p-1)(q-1)=288$

3.Bob选择一个$e=37<n=323,gcd(37,288)=1$

4.Bob求$e=37$在mod$288$下的乘法逆$d=109$

5.Bob对外公布公钥$K_{Bob}^{+}(n=323,e=37)$,自己持有私钥$K^{-}Bob(n=323,d=109)$

6.Alice拿到Bob的公钥$K_{Bob}^{+}(n=323,e=37)$,想要加密$88$
$$c=m^{e}modn=88^{37}mod323=107$$

7.Bob拿到Alice发来的密文之后,使用私钥$K^{-}Bob(n=323,d=109)$解密
$$m=c^{d}modn=107^{109}mod323=109$$

计算方法

拓展欧几里得算法求乘法逆元

已知$gcd(e,z)=1,ed\equiv 1(modz)$,求d

由$ed\equiv 1(modz)$可以得到$ed=kz+1\Rightarrow ed-kz=1$由于k是一个任意整数,带不带符号无所谓于是有
$$ed+kz=1=gcd(e,z)$$
拓展欧几里得定理:
$$\begin{gathered} ax+by=gcd(a,b) \\ gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \\ b{x}_1+a\%b{y}_1=gcd(b,a\%b) \end{gathered}$$

得到$ax+by=b{x}_1+a\%b{y}_1=b{x}_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y_1=a{y}_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)$

令等号两侧a和b的系数分别相等有
$$\{\begin{array}{l}x=y_1\\ y=x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1\end{array}$$
这时候我们大体可以写出递归函数的形式了,但是还有一个函数出口的问题,什么时候停止递归呢

$gcd(a,b)$算法会在b=0时返回a作为最大公约数,拓展欧几里得算法也是如此

停止递归时x,y分别设置为多少呢?

算法停止时有$gcd(a_n,0)=a_{n}x+0y$

又$gcd(a_n,0)=a_n$

于是令$x=1,y=0$

int exgcd(const int &a,const int &b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int x1,y1;
	int d=exgcd(b,a%b,x1,y1);
	x=y1;
	y=x1-a/b*y1;
	return d;
}

快速幂+费马小定理求乘法逆元

费马小定理

a是与p互素的任意整数,即$gcd(a,p)=1$,有
$$a^p\equiv a(modp)$$

因此$(a+1{)}^p\equiv a^p+1(modp)$

由归纳假设$a^p\equiv a(modp)$带入上式有

$(a+1{)}^p\equiv a+1(modp)$

因此结论对a+1时也成立

求乘法逆元:已知$gcd(e,z)=1,ed\equiv 1(modz)$,求d

由$gcd(e,z)=1$得到$e^z\equiv e(modz)$

又$ed\equiv 1(modz)$等号两侧同时乘以$e^2$得到$e^{2}d\equiv e(modz)\equiv e^z(modz)$

于是$d\equiv e^{z-2}(modz)$

下面就可以用快速幂计算d了

快速幂求$m^{e}modn$

快速幂算法

计算$x^n$时
$$x^n=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ x,n=1\\ (x^2{)}^{\frac{n}{2}},n为偶数\\ (x^2{)}^{\frac{n-1}{2}}\times x,n为奇数\end{array}$$
又由于乘法对于取模很随意
$$[(amodn)\cdot (bmodn)]modn=(a\cdot b)modn$$
因此
$$x^{n}modm=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ xmodm,n=1\\ (x^{2}modm{)}^{\frac{n}{2}}modm,n为偶数\\ (x^{2}modm{)}^{\frac{n-1}{2}}\times xmodm,n为奇数\end{array}$$

int quick_pow(const int &base, const int &index, const int &p) {
	if (index == 0)
		return 1;
	else if (index == 1)
		return base % p;
	else if (index % 2) {
		int temp = base * base % p;
		return quick_pow(temp, index >> 1, p) * base % p;
	} else {
		int temp = base * base % p;
		return quick_pow(temp, index >> 1, p);
	}
}