为了方便起见，这些模型通常简称为TAR模型。这些模型捕获了线性时间序列模型无法捕获的行为，例如周期，幅度相关的频率和跳跃现象。Tong和Lim（1980）使用阈值模型表明，该模型能够发现黑子数据出现的不对称周期性行为。

一阶TAR模型的示例：

σ是噪声标准偏差，Yt-1是阈值变量，r是阈值参数， {et}是具有零均值和单位方差的iid随机变量序列。

每个线性子模型都称为一个机制。上面是两个机制的模型。

考虑以下简单的一阶TAR模型：

1.   
2.  #低机制参数
3.   
4.   
5.  i1 = 0.3
6.  p1 = 0.5
7.  s1 = 1
8.   
9.  #高机制参数
10.   
11.   
12.  i2 = -0.2
13.  p2 = -1.8
14.  s2 = 1
15.   
16.  thresh = -1
17.  delay = 1
18.   
19.  #模拟数据
20.  y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y
21.   
22.  #绘制数据
23.   
24.   
25.  plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t])
26.  abline(thresh,0,col="red")

 TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通过抑制噪声项和截距并将阈值设置为0来获得的：

框架的稳定性以及某些规律性条件意味着TAR的平稳性。稳定性可以理解为，对于任何初始值Y1，框架都是有界过程。

在[164]中：

1.  #使用不同的起点检查稳定性
2.  startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
3.   
4.  count = 1
5.  for (s in startvals) {
6.  ysk[1
7.  } else {
8.  ysk[i] = -1.8*ysk[i-1]
9.  }
10.   
11.  count = count + 1
12.  }
13.   
14.  #绘制不同实现
15.  matplot(t(x),type="l"
16.  abline(0,0)

Chan和Tong（1985）证明，如果满足以下条件，则一阶TAR模型是平稳的

一般的两机制模型写为：

在这种情况下，稳定性更加复杂。然而，Chan and Tong（1985）证明，如果

模型估计

一种方法以及此处讨论的方法是条件最小二乘（CLS）方法。

为简单起见，除了假设p1 = p2 = p，1≤d≤p，还假设σ1=σ2=σ。然后可以将TAR模型方便地写为

如果Yt-d> r，则I（Yt-d> r）= 1，否则为0。CLS最小化条件残差平方和：

在这种情况下，可以根据是否Yt-d≤r将数据分为两部分，然后执行OLS估计每个线性子模型的参数。

如果r未知。

在r值范围内进行搜索，该值必须在时间序列的最小值和最大值之间，以确保该序列实际上超过阈值。然后从搜索中排除最高和最低10％的值

1. 在此受限频带内，针对不同的r = yt值估算TAR模型。
2. 选择r的值，使对应的回归模型的残差平方和最小。

1.  #找到分位数
2.  lq = quantile(y,0.10)
3.  uq = quantile(y,0.90)
4.   
5.  #绘制数据
6.  plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")
7.  abline(uq,0,col="blue")

1.  #模型估计数
2.   
3.   
4.  sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )
5.   

80

如果d未知。

令d取值为1,2,3，...，p。为每个d的潜在值估算TAR模型，然后选择残差平方和最小的模型。

Chan（1993）已证明，CLS方法是一致的。

最小AIC（MAIC）方法

由于在实践中这两种情况的AR阶数是未知的，因此需要一种允许对它们进行估计的方法。对于TAR模型，对于固定的r和d，AIC变为

然后，通过最小化AIC对象来估计参数，以便在某个时间间隔内搜索阈值参数，以使任何方案都有足够的数据进行估计。

1.  #估算模型
2.  #如果知道阈值
3.   
4.  #如果阈值尚不清楚
5.   
6.  #MAIC 方法
7.   
8.   
9.  for (d in 1:3) {
10.  if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {
11.  AIC.best = model.tar.s$AIC
12.  model.best$d = d
13.  model.best$p1 = model.tar.s
14.  ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)
15.   
16.  AICM
17.   

非线性测试

1.使用滞后回归图进行目测。

绘制Yt与其滞后。拟合的回归曲线不是很直，可能表明存在非线性关系。

在[168]中：

lagplot(y)

2.Keenan检验：

考虑以下由二阶Volterra展开引起的模型：

其中{ϵt} 的iid正态分布为零均值和有限方差。如果η=0，则该模型成为AR（mm）模型。

可以证明，Keenan检验等同于回归模型中检验η=0：

其中Yt ^ 是从Yt-1，...，Yt-m上的Yt回归得到的拟合值。

3. Tsay检验：

Keenan测试的一种更通用的替代方法。用更复杂的表达式替换为Keenan检验给出的上述模型中的项η（∑mj = 1ϕjYt-j）2。最后对所有非线性项是否均为零的二次回归模型执行F检验。

在[169]中：

1.  #检查非线性: Keenan, Tsay
2.  #Null is an AR model of order 1
3.  Keenan.test(y,1)
4.  $test.stat
5.   
6.  90.2589565661567
7.   
8.  $p.value
9.   
10.  1.76111433596097e-15
11.   
12.  $order
13.   
14.  1

在[170]中：

Tsay.test(y,1)

1.  $test.stat
2.   
3.  71.34
4.   
5.  $p.value
6.   
7.  3.201e-13
8.   
9.  $order
10.   
11.  1

4.检验阈值非线性

这是基于似然比的测试。

零假设是AR（pp）模型；另一种假设是具有恒定噪声方差的p阶的两区域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用这些假设，可以将通用模型重写为

零假设表明ϕ2,0 = ϕ2,1 = ... = ϕ2，p = 0。

似然比检验统计量可以证明等于

其中n-p是有效样本大小，σ^ 2（H0）是线性AR（p）拟合的噪声方差的MLE，而σ^ 2（H1）来自TAR的噪声方差与在某个有限间隔内搜索到的阈值的MLE。

H0下似然比检验的采样分布具有非标准采样分布；参见Chan（1991）和Tong（1990）。

在[171]中：

1.  res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)
2.  res
3.  $percentiles
4.   
5.  14.1
6.   
7.  85.9
8.  $test.statistic
9.   
10.  : 142.291963130459
11.   
12.  $p.value
13.   
14.  : 0

模型诊断

使用残差分析完成模型诊断。TAR模型的残差定义为

标准化残差是通过适当的标准偏差标准化的原始残差：

如果TAR模型是真正的数据机制，则标准化残差图应看起来是随机的。可以通过检查标准化残差的样本ACF来检查标准化误差的独立性假设。

1.  #模型诊断
2.   
3.  diag(model.tar.best, gof.lag=20)

预测

预测分布通常是非正态的。通常，采用模拟方法进行预测。考虑模型

然后给定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...

因此，可以通过从误差分布中绘制et + 1并计算h（yt，et + 1），来获得单步预测分布的Yt + 1的实现。 。

通过独立重复此过程 B 次，您可以 从向前一步预测分布中随机获得B值样本 。

可以通过这些B 值的样本平均值来估计提前一步的预测平均值 。

通过迭代，可以轻松地将仿真方法扩展为找到任何l步提前预测分布：

其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是从误差分布得出的ll值的随机样本。

在[173]中：

1.  #预测
2.  model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
3.  y.pred = ts(c
4.  lines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)
5.  lines(ts(model

样例

这里模拟的时间序列是1700年至1988年太阳黑子的年数量。

在[174]中：

1.  #数据集
2.  #太阳黑子序列，每年
3.   
4.  plot.ts(sunsp

1.  #通过滞后回归图检查非线性
2.  lagplot(sunspo)

1.  #使用假设检验检查线性
2.  Keenan.test(sunspot.year)
3.  Tsay.test(sunspot.year)
4.  $test.stat
5.   
6.  18.2840758932705
7.   
8.  $p.value
9.   
10.  2.64565849317573e-05
11.   
12.  $order
13.   
14.  9
15.   
16.  $test.stat
17.   
18.  3.904
19.   
20.  $p.value
21.   
22.  6.689e-12
23.   
24.  $order
25.   
26.  9

在[177]中：

1.  #使用MAIC方法
2.  AIC{
3.  sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)
4.   
5.  AICM

在[178]中：

1.  #测试阈值非线性
2.  tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)
3.   
4.  $percentiles
5.   
6.  15
7.   
8.  85
9.  $test.statistic
10.   
11.  : 52.2571950943405
12.   
13.  $p.value
14.   
15.  : 6.8337179274236e-06
16.  #模型诊断
17.  tsdiag(sunspot.tar.best)

1.  #预测
2.  sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
3.   
4.  lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e

1.  #拟合线性AR模型
2.  #pacf(sunspot.year)
3.  #尝试AR阶数9
4.  ord = 9
5.  ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")
6.   
7.  plot.ts(sunspot.year[10:289]

模拟TAR模型上的AR性能

示例1. 将AR（4）拟合到TAR模型

1.  set.seed(12349)
2.  #低机制参数
3.  i1 = 0.3
4.  p1 = 0.5
5.  s1 = 1
6.   
7.  #高机制参数
8.  i2 = -0.2
9.  p2 = -1.8
10.  s2 = 1
11.   
12.  thresh = -1
13.  delay = 1
14.   
15.  nobs = 200
16.  #模拟200个样本
17.  y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y
18.   
19.  #使用Tsay的检验确定最佳AR阶数
20.  ord <- Tsay.test(y)$order
21.   
22.  #线性AR模型
23.  #pacf(sunspot.year)
24.  #try AR order 4
25.   

例子2. 将AR（4）拟合到TAR模型

例子3. 将AR（3）拟合到TAR模型

例子3. 将AR（7）拟合到TAR模型

参考文献

恩德斯（W. Enders），2010年。应用计量经济学时间序列