目录

• 13 聚类算法
• • 13-1 无监督学习
  • 13-2 K均值(K-means)算法
  • 13-3 优化目标
  • 13-4 随机初始化(K均值聚类算法)
  • 13-5 如何选择聚类数量K

13 聚类算法

13-1 无监督学习

无监督学习的数据集是一堆不带标签的数据，他们没有$y$的值，只有$x$的值

13-2 K均值(K-means)算法

K均值算法的第一步（簇分配）：确定两个聚类中心（图中蓝色叉和红色叉），遍历每一个样本（图中绿点），判断离哪个聚类中心更近，将样本分为两个簇，分完之后如下图

K均值算法的第二步（移动聚类中心）：计算每一簇中所有点的均值，并将聚类中心移动到该均值处，移动后如下图

然后再重复第一步判断每一个样本离哪个聚类中心近，并改变他的颜色（分类），改变后再重复第二步。
这样不断重复，得到最终结果

这样就可以说K均值已经聚合了

输入一个$K$表示想要将数据分为几类，输入不带标签的训练集
设训练集是一个n维向量（按照惯例不考虑$x_0=1$这一项）

如上图
用$K$表示想要将数据分为$K$类
用${\mu }_k$表示第$k$个聚类中心的位置（他是一个向量/矩阵），随机初始化获得
用$c^{(i)}$表示样本中第$i$个点距离最近的那个聚类中心的下标，即第$i$个样本距离第$c^{(i)}$个聚类中心最近，即第$i$个样本属于第$c^{(i)}$个聚类中心，求法如上图中蓝色笔迹
求完上述值后，计算每一个聚类中心包含的点的均值，赋值给对应的${\mu }_k$，此时已经得到新的聚类中心的位置
如果有一个没有点的聚类中心，一般直接移除，这样最后会得到K-1类；但如果确实是需要分为K类，那么就将那个没有点的聚类中心重新随机初始化

如上图，有时K均值算法也运用于不能很明显的分类的数据集，如收集了很多人的身高、体重作为数据集，可以看出这些数据基本是连续的，要将其分为S、M、L三类，用聚类算法，也能分为三类。聚类算法也可用于市场的分割

13-3 优化目标

${\mu }_{c^{(i)}}$表示第$i$个样本所属聚类中心的位置

K均值聚类算法的代价函数（优化目标函数）为
$$J(c^{(1)},...,c^{(m)},{\mu }_1,...,{\mu }_K)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\Vert x^{(i)}-{\mu }_{c^{(i)}}{\Vert }^2$$
表示的是每一个样本的位置与它所属的聚类中心位置作差，取范数，再平方，所有共m个样本加起来再求平均数
这个代价函数有时也称为失真代价函数(the distortion cost function)或K均值算法的失真

13-4 随机初始化(K均值聚类算法)

• 从训练集中随机挑选$K$个样本，让第一到第K的聚类中心等于刚刚随机出来的$K$个样本
  
  如上图，由于是随机挑选的聚类中心，所以结果可能是全局最优（如上图上面的坐标系），也可能落在局部最优上（如上图下面两个坐标系）
  所以，采用多次随机初始化的方法寻找全局最优
  
  如上图，多次随机初始化的方法为：
  运行50-1000次K均值聚类算法，可以得到许多不同的代价函数的值，取最小的那个就是最优的聚类
  如果K=2到10，那么多次随机初始化可以明显改进聚类算法效果，如果大于10，多次运行可能不会有特别明显的改善

13-5 如何选择聚类数量K

一般是手动选择

• 如上图，运用肘部法则，坐标系x轴为聚类数量K，坐标系y轴为代价函数的值，绘制曲线后，如左侧的坐标系，能看到曲线在K=3处由很高的斜率转为了很低的斜率，这一点认为是“肘部”，选择K=3是合适的，但也有可能曲线是如右边坐标系的图像，不能明确地找出合适的聚类数量

或者另外一种方法，根据下游目的来手动选择聚类数量