算法练习题

1. 证明对任意常实数$a$和$b$，其中$b>0$有${(n+a)}^b=\Theta (n^b)$

解：
依题，对于$\forall b>0,(n+a{)}^b=\theta (n^b)$都有：
当$a>0$时，$n^b<(n+a{)}^b<2^b\ast n^b$
即$c_1=1,c_2=2^b$
同理有当$a<0$时，$2^{-b}\ast n^b<(n+a{)}^b<n^b$
即$c_1=2^{-b},c_2=1$
满足$(n+a{)}^b=\theta (n^b)$的定义，故得证

2. 解释为什么“算法$A$的运行时间至少是$O(n^2)$”这句话是无意义的

解：因为时间复杂度$O(n^2)$只代表时间随数据量规模的增加变化程度，并不指任何具体运行时间。且$O(n^2)$描述了时间变化程度的上界，而至少描述了下界。综上两条，“算法$A$的运行时间至少是$O(n^2)$”这一表述是无意义的。

3. $2^{(n+1)}=O(2^n)$成立吗？$2^{2n}=O(2^n)$成立吗？

解： $2^{(n+1)}=O(2^n)$成立， $2^{2n}=O(2^n)$不成立

4. 证明$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n{(\frac{n}{e})}^n}}=1$

解：
不妨设
$$a_n=\frac{n!}{n^{(n+\frac{1}{2})}{e}^{-n}}$$
则有：
$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{{(n+1)}^{n+\frac{3}{2}}}{n^{n+\frac{1}{2}}(n+1)e}=\frac{1}{e}(1+\frac{1}{n}{)}^n(1+\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{2}}$$
所以：
$$\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$$
即：
$$a_n>a_{n+1}$$
故$a_n$单调递减，依积分放缩有：
$$\ln n!>(n+\frac{1}{2})\ln n-n$$
即：
$$n!>n^{(n+\frac{1}{2})}{e}^{-n}$$
因此有：
$$a_n>1$$
因此$a_n$极限存在，不妨设：
$$A=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{n^{(n+\frac{1}{2})}{e}^{-n}}$$
依华里士公式有：
$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}{]}^2}{2n+1}$$
依次化简得：
$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{[\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n)!!}{]}^2}{2n+1}$$
$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{4n}[\frac{{(n!)}^2}{(2n)!}{]}^2}{2n+1}$$
$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{4n}[\frac{{(A{n}^{(n+\frac{1}{2})}{e}^{-n})}^2}{A(2n{)}^{2n+\frac{1}{2}}{e}^{-2n}}{]}^2}{2n+1}$$
$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{4n}(2^{-2n-\frac{1}{2}}A\sqrt{n}{)}^2}{2n+1}$$
$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{4n}(2^{-2n-\frac{1}{2}}A\sqrt{n}{)}^2}{2n+1}$$
$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{4n}{A}^2{2}^{-4n-1}\ast n}{2n+1}$$
$$\frac{\pi }{2}=\frac{A^2}{4}$$
解得：
$$A=\sqrt{2\pi }$$
因此：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{n^{(n+\frac{1}{2})}{e}^{-n}}=\sqrt{2\pi }$$
即：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n{(\frac{n}{e})}^n}}=1$$
故得证

5. 证明$n!=\omega (2^n)$

即证明：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0$$
因为
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=\frac{2}{1}\ast \frac{2}{2}\ast \frac{2}{3}\ast ...\ast \frac{2}{n-2}\ast \frac{2}{n-1}\ast \frac{2}{n}$$
则有
$$0\le \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}\le 2\ast \underset{n\to +\infty }{\lim }(\frac{2}{3}{)}^n<0$$
依夹逼定理：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0$$
即$n!=\omega (2^n)$
故得证。

6. 证明$n!=O(n^n)$

即证明：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=0$$
展开并化简得：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\ast \frac{2}{n}\ast \frac{3}{n}\ast ...\ast \frac{n-2}{n}\ast \frac{n-1}{n}\ast \frac{n}{n}$$
易得：
$$0\le \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\ast \frac{2}{n}\ast \frac{3}{n}\ast ...\ast \frac{n-2}{n}\ast \frac{n-1}{n}\ast \frac{n}{n}\le \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$
依夹逼定理：
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=0$$
即$n!=O(n^n)$
故得证。

7. 为下表中的每对表达式$（A,B）$指出$A$是否是$B$的$O$、$o$、$\Omega$、$\omega$或$\Theta$。假设$k\ge 1,\epsilon >0$且$c>1$均为常量。回答应该以表格的形式将是或否写在每个空格中。

8. 根据增长率来对下列函数排序；即找出函数的一种排序$g_1,g_2,...,g_{30}$，使$g_1=\Omega (g_2)$，$g_2=\Omega (g_3)$，$...$，$g_{29}=\Omega (g_{30})$。将该序列划分成等价类，使$f(n)$和$g(n)$在同一个等价类中当且仅当$f(n)=\Theta (g(n)))$。

函数如下：
$\lg (\lg \cdot n)$，$2^{\lg \cdot n}$，${\sqrt{2}}^{\lg n}$，$n^2$，$n!$，$(\lg n)!$，$(\frac{3}{2}{)}^n$，$n^3$，${\lg }^{2}n$，$\lg (n!)$，$2^{2^n}$，$n^{1/\lg n}$，$\ln \ln n$，$\lg \cdot n$，$n\ast 2^n$，$n^{\lg \lg n}$，$\ln n$，$1$，$2^{\lg n}$，$(\lg n{)}^{\lg n}$，$e^n$，$4^{\lg n}$，$(n+1)!$，$\sqrt{\lg n}$，$\lg \cdot (\lg n)$，$2^{\sqrt{2\lg n}}$，$n$，$2^n$，$n\lg n$，$2^{2^{n+1}}$

解：
$2^{2^{n+1}}>2^{2^n}>(n+1)!>n!>e^n>n\ast 2^n>2^n>(\frac{3}{2}{)}^n>(\lg n{)}^{\lg n}=n^{\lg \lg n}>(\lg n)!>n^3>n^2=4^{\lg n}>n\cdot \lg n=\lg (n!)>n=2^{\lg n}>{\sqrt{2}}^{\lg n}>2^{\sqrt{2\lg n}}>{\lg }^{2}n>\ln n>\sqrt{\lg n}>\ln \ln n>2^{\lg \cdot n}>\lg \cdot n=\lg \cdot (\lg n)>\lg (\lg \cdot n)>n^{1/\lg n}>1$