1.如何理解卷积？

笔记来源：【小动画】彻底理解卷积【超形象】卷的由来，小元老师

1.1 角度一（概率统计）

以两个随机变量为例
两个相互独立的随机变量$X$和随机变量$Y$的概率密度函数通过卷积得到随机变量之和$X+Y$的概率密度函数

假设第一行为某人数学考试的可能得分、第二行为某人英语考试的可能得分【假设满分20】
获得每个分数的概率为 $1/20$，此人两科总分为35分的概率是多少？

$$\begin{gathered} S(35)=f(15)g(35-15)+f(16)g(35-16)+f(17)g(35-17)+f(18)g(35-18)+f(19)g(35-19)+f(20)g(35-20) \\ S(35)=f(15)g(20)+f(16)g(19)+f(17)g(18)+f(18)g(19)+f(19)g(16)+f(20)g(15) \\ S(35)=\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}=\frac{6}{20} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S(z)=\sum _{n}f(x_n)g(y_n) \\ z=x_n+y_n、y_n=z-x_n \\ S(z)=\sum _{n}f(x_n)g(z-x_n) \end{gathered}$$
为方便上下两行能够很好的对应起来，我们将上面一行进行翻转

如果将上面的两行数据放置到坐标轴上，下图中的斜线为两个变量的和的所有情况

1.2 角度二（信号处理）

引用自：最容易理解的对卷积(convolution)的解释

截图来源：【小动画】彻底理解卷积【超形象】卷的由来，小元老师

【注：本人未学过信号与系统，只是简单套用，概念套用不一定正确】

我们设输入信号的函数为 $f(t)$，信号衰减系数的函数为 $g(z-t)$
则第9s时信号有多少？【0-9s期间不断有信号输入，期间也有信号衰减】
$$s(9)={\int }_0^{9}f(t)g(9-t)dt$$

为方便信号与其衰减系数对应，我们将信号函数图像翻转

左侧为某个单位脉冲输入，右侧为其对应的单位脉冲响应

左侧为多个单位脉冲输入，右侧为其分别对应的单位脉冲响应

“截断”后的情况

红色矩形的面积为当前时刻的脉冲总输出

1.3 角度三（图像处理）

图片来源：数字图像处理：理解什么是卷积（滤波）、卷积核以及相关参考资料

图像处理中的卷积运算规则如下图：

截图来源：Convolutions in image processing | Week 1 | MIT 18.S191 Fall 2020 | Grant Sanderson

移动的为卷积核，此例中左侧图形经过卷积运算后图像变得模糊