插入排序

简单插入排序

算法思想

将待排序的一组序列分为已排好序和未排好序的两部分；
初始状态时，已排序序列只包含第一个元素，未排序序列中的元素为此后的N-1个元素；
此后，将未排序序列中的元素逐一插入到已排序的序列中；
经过N-1次插入后，排序完成。
第k-1次插入：将未排序序列的第一个元素a从右到左依次与已排序序列中的元素b比较，如果a < b，则将a和b交换。

算法模拟

对于待排序的一组序列 44, 12, 59, 36, 43, 62
第4趟排序：此次待排元素43

算法实现

/*插入排序*/
void Insertion_sort(ElementType A[], int N)
{
	ElementType tmp; /* 待插入元素值拷贝 */
	for(int i = 1;i < N;i++) /* 进行N-1趟排序 */
	{
		tmp = A[i];
		for(int j = i; j > 0 && A[j-1] > tmp;j--) /* 与已排序元素从后往前逐次比较并往后移，直到遇到小于等于它的元素 */
		{
			A[j] = A[j-1]; /* 将元素往后移 */
		}
		A[j] = tmp; /*将插入元素放入合适的位置 */
	 }
}

时间复杂度分析

有两个嵌套循环，每个循环进行O(N)次比较和交换，故整个算法时间复杂度为O(n²)。

稳定性分析

是稳定的。在比较时，只有当前一个元素大于后一个元素，才会进行交换。

希尔排序

算法思想

将待排序的的一组元素按一定间隔分成若干序列，每个序列进行简单插入排序。重复选取间隔进行排序，直到最后一次间隔为1，即简单插入排序。
增量序列：选取的间隔序列，用来分割待排序列。（是一个递减的序列，最后一个元素一定为1）

算法模拟

待排序的一组元素44,12,59,36,62,43,94,7,35,52,85
增量序列：5,3,1
(同一个颜色同一个序列)

算法实现

/*希尔排序*/
void Shell_sort(ElementType A[], int N)
{
	int i,p;
	ElementType tmp;
	int Sedgewick[] = {929, 505 , 209 , 109 , 41 , 19 , 5 , 1 , 0}; //增量序列，0用来标记排序结束

	for(i = 0; Sedgewick[i]>= N;i++) // 找到初始增量序列（不超过N的最大增量）
	 ;
	
	for(int j = Sedgewick[i]; j > 0; j = Sedgewick[++j]) //每一个增量对应一次循环
	{
		for(k = j;k < N; k++)
		{
			tmp = A[k];
			for(p = k; p >= j && A[p - j] > tmp; p -= j) //以增量j为跨度在小序列中进行插入排序
				{ A[p] = A[p - j]; }
			A[p] = tmp;
		}
	}
}

时间复杂度分析

增量序列为{$\lfloor N/2\rfloor$,$\lfloor N/2^2\rfloor$, … ,1}，最差情况下时间复杂度为O(N²);
增量序列为{2^k-1-1, … ,3,1}，最差情况下时间复杂度为O(N^3/2),平均情况下时间复杂度为O(N^5/4).

稳定性分析

由于排序是在子序列中进行，所以可能发生数值相同两个元素相对位置的改变，是不稳定的。