商代数

设$R$使$A=⟨S,{\ast }_1,{\ast }_2,\cdots ,{\ast }_n⟩$上的同余关系，则$R$使$S$上的等价关系，因此$R$可诱导出$S$的一个划分 S / R = { [ a ] R ∣ a ∈ S } S/ R = \left\{\left[a\right]_R | a \in S\right\} S/R={[a]R​∣a∈S}.对于运算${\ast }_i$，定义$S/R$上的同阶运算${⊛}_i$为:$\forall {\left[a_1\right]}_R,{\left[a_2\right]}_R,\cdots ,{\left[a_{n_i}\right]}_R\in S/R$,
$${⊛}_i\left({\left[a_1\right]}_R,{\left[a_2\right]}_R,\cdots ,{\left[a_{n_i}\right]}_R\right)={\left[{\ast }_i\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\right)\right]}_R$$
${⊛}_i$是良定的，因为运算结果并不依赖于各等价类的代表元的选取：

若${\left[a_k\right]}_R={\left[b_k\right]}_R$, 则$a_{k}R{b}_k$,因为$R$是$A$上的同余关系，所以
${\ast }_i\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\right)R{\ast }_i\left(b_1,b_2,\cdots ,b_{n_i}\right)$,故
$${\left[{\ast }_i\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\right)\right]}_R={\left[{\ast }_i\left(b_1,b_2,\cdots ,b_{n_i}\right)\right]}_R$$

设$R$是代数系统$A=⟨S,{\ast }_1,{\ast }_2,\cdots ,{\ast }_n⟩$删的同余关系，则称代数系统
$A/R=⟨S/R,{⊛}_1,{⊛}_2,\cdots ,{⊛}_n⟩$为$A$关于$R$的商代数

定理1： 设$R$是代数系统$A=⟨S,{\ast }_1,{\ast }_2,\cdots ,{\ast }_n⟩$上的同余关系，函数$f:S\to S/R$定义为
$\forall a\in S,f\left(a\right)={\left[a\right]}_R$，则$f$是从$A$到商代数$A/R$的满同态，称为自然同态

证明：
$\forall i\in \mathbb{N}\left(1\le i\le n\right),\forall a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\in S$
$$\begin{array}{rl}f\left({\ast }_i\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\right)\right)& ={\left[{\ast }_i\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\right)\right]}_R\\ & ={⊛}_i\left({\left[a_1\right]}_R,{\left[a_2\right]}_R,\cdots ,{\left[a_{n_i}\right]}_R\right)\\ & ={⊛}_i\left(f\left(a_1\right),f\left(a_2\right),\cdots ,f\left(a_{n_i}\right)\right)\end{array}$$
所以$f$为$A$到$A/R$的同态。
又$\forall x\in S/R,\exists a\in S$,使得$x={\left[a\right]}_R$,于是$f\left(a\right)={\left[a\right]}_R=x$,所以$f$满射。故$f$为$A$到$A/R$的满同态
由于$f$是从$A$到$A/R$的满同态，因此$A$的主要代数性质再其商代数$A/R$中仍然保持

定理2： 设$h$是从$A=⟨S,{\ast }_1,{\ast }_2,\cdots ,{\ast }_n⟩$到$A^{\prime }=⟨S^{\prime },{\ast }_1^{\prime },{\ast }_2^{\prime },\cdots ,{\ast }_n^{\prime }⟩$的同态
$R$是$A$上由$h$诱导的同余关系，$f$是从$A$到商代数$A/R$的自然同态，那么存在从$A/R$到$h\left(A\right)$的同构$g$，使得$g\circ f=h$

证明：

作$g:S/R\to h\left(S\right),[a{]}_R\mapsto h(a)$
1.$g$是良定的，$\forall {\left[a\right]}_R,{\left[b\right]}_R\in S/R$，若${\left[a\right]}_R={\left[b\right]}_R$，则$aRb$，所以$h\left(a\right)=h\left(b\right)$
2.$g$是单射。$\forall {\left[a\right]}_R,{\left[b\right]}_R\in S/R$，若$g\left({\left[a\right]}_R\right)=g\left({\left[b\right]}_R\right)$，则$h\left(a\right)=h\left(b\right)$，所以$aRb,{\left[a\right]}_R={\left[b\right]}_R$
3.$g$是满射，$\forall x\in h\left(S\right),\exists a\in S$，使得$h\left(a\right)=x$，所以
$$g\left({\left[a\right]}_R\right)=h\left(a\right)=x$$
4.$g$是同态，$\forall i\in \mathbb{N}\left(1\le i\le n\right),\forall {\left[a_1\right]}_R,{\left[a_2\right]}_R,\cdots ,{\left[a_{n_i}\right]}_R\in S/R$

$$\begin{array}{rl}& g\left({⊛}_i\left({\left[a_1\right]}_R,{\left[a_2\right]}_R,\cdots ,{\left[a_{n_i}\right]}_R\right)\right)\\ =& g\left({\left[{\ast }_i\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\right)\right]}_R\right)\\ =& h\left({\ast }_i\left(a_1,a_2,\cdots ,a_{n_i}\right)\right)\\ =& {\ast }_i^{\prime }\left(h\left(a_1\right),h\left(a_2\right),\cdots ,h\left(a_{n_i}\right)\right)\\ =& {\ast }_i^{\prime }\left(g\left({\left[a_1\right]}_R\right),g\left({\left[a_2\right]}_R\right),\cdots ,g\left({\left[a_{n_i}\right]}_R\right)\right)\end{array}$$
故$g$是从$A/R$到$h\left(A\right)$的同构
并且$\forall a\in S,g\circ f\left(a\right)=g\left(f\left(a\right)\right)=g\left({\left[a\right]}_R\right)=h\left(a\right)$,故$g\circ f=h$

推论：设$h$是从$A$到$A^{\prime }$的满同态，$R$是$A$上由$h$诱导的同余关系，则
$$A/R\cong A^{\prime }$$

积代数

设$A_i=⟨S_i,{\ast }_{i1},{\ast }_{i2},\cdots ,{\ast }_{in}⟩\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$为同型的代数系统，
则$A_1,A_2,\cdots ,A_m$的积代数${\times }_{i=1}^m{A}_i$定义为代数系统$⟨{\times }_{i=1}^m{S}_i,{\ast }_1,{\ast }_2,\cdots ,{\ast }_n⟩$,其中运算${\ast }_j$定义如下：
$\forall ⟨a_{11},a_{21},\cdots ,a_{m1}⟩,⟨a_{12},a_{22},\cdots ,a_{m2}⟩,\cdots ⟨a_{1n_j},a_{2n_j},\cdots ,a_{m{n}_j}⟩\in S1\times S_2\times \cdots \times S_m$,
$$\begin{array}{rl}& {\ast }_j\left(⟨a_{11},a_{21},\cdots ,a_{m1}⟩,⟨a_{12},a_{22},\cdots ,a_{m2}⟩,\cdots ,⟨a_{1n_j},a_{2n_j},\cdots ,a_{m{n}_j}⟩\right)\\ & \\ & =⟨{\ast }_{1j}\left(a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n_j}\right),{\ast }_{2j}\left(a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n_j}\right),\cdots ,\\ & \ast {}_{mj}\left(a_{m1},a_{m2},\cdots ,a_{m{n}_j}\right)⟩.\end{array}$$

定理： 设$A_i=⟨S_i,{\ast }_i,{+}_i⟩$为同型的代数系统，${\ast }_i$和${+}_i$为二元运算，积代数${\times }_{i=1}^m{A}_i=⟨{\times }_{i=1}^m{S}_i,\ast ,+⟩$

(1)若${\ast }_i$可交换，则$\ast$也是可交换的
(2)若${\ast }_i$是可结合的，则$\ast$也是可结合的
(3)若${\ast }_i$关于${+}_i$是可分配的，则$\ast$关于$+$也是可分配的
(4)若$e_i$是关于${\ast }_i$的单位元，则$⟨e_1,e_2,\cdots ,e_m⟩$是关于$\ast$的单位元
(5)若$0_i$是关于${\ast }_i$的零元，则$⟨0_1,0_2,\cdots ,0_m⟩$是关于$\ast$的零元
(6)若$a_i\in S_i$关于${\ast }_i$由逆元$a^{-1}$，则$⟨a_1,a_2,\cdots ,a_m⟩$关于$\ast$由逆元$⟨a_1^{-1},a_2^{-1},\cdots ,a_m^{-1}⟩$