注：此笔记为B站上台大郭彦甫老师的教学视频的笔记，链接附在下面：
https://www.bilibili.com/video/BV1GJ41137UH?from=search&seid=2186999109437495567&spm_id_from=333.337.0.0
此笔记比较简略，适用于对编程语言已经有一定了解（例如已经至少掌握C++/python）的同学学习。对于python的numpy/matplotlib库熟悉会对Matlab的系统操作方法有很大帮助。

Matlab入门教学

Introduction

Matlab：Matrix Laboratory

• 高级编程语言
• 简单的可视化
• 目标：学习使用MATLAB，写代码，解决工程问题

内容

Lecture 1 基本操作与矩阵

Command Line：基本功能（as计算器）

• Operator：±*/^()

• cos,sin,ln，要用的符号自己查，matlab online help，内部search亦可

• embedding functions：用变量存储计算结果，然后再对变量作用函数

• matlab中新建变量无需声明类型，直接赋值即可，区分大小写没有数字

  • matlab中的变量类型
  • 一般默认double，别的之后再学

• who,whos：查看此前定义的变量/+取值

• 关键字：i,j,Inf,eps(非常小),NaN,ans,pi/ build-in function

• 把一个变量从workspace中消除：clear XXX，如果不加XXX就全都清空了

• format指令：变量值显示方法，如：format+long/short/shortE/…/rat(分数)

• 在输入指令的时候：

  • 在最后加分号：不会在该行显示计算结果
  • 按$\uparrow$的时候可查看上一条输入的指令

Array and Matrix

• 行向量：a=[1 2 3 4]，列向量：a=[1;2;3;4]（;：换行），空向量：[]

• 矩阵：A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

• Indexing：索引

  • a(2)：第2个数（从1开始计数），A(1,2)：第1行第2列
  • A(k)：从上往下，从左往右数第k个；例如，A(2)=4，
    可以输入列表：例如A([1 2; 3 4])=[A(1) A(2); A(3) A(4)]=[1 4; 7 2]
  • A([1 3], [1 3])：取第1,3行，第1,3列组成的submatrix

• 矩阵局部赋值：寻找索引之后赋值即可

• colon operator：[i:k]=[i,i+1,…,k]；[i:j:k]=[i,i+j,…,i+lj<=k]，也可以和char混用

  • 除此之外，还能表示全部的意思：A(3,:)：取出矩阵A的第三行
  • 清空第三列：A(3,:)=[]

• 串联数组：[A B]：行串联 [A;B]：列串联

Array Manipulation

• 矩阵基本运算：

  • +;-
  • *;/(乘以逆矩阵)
  • .*：直接把每两个对应的元素乘在一起;./：同理，对应元素除在一起
  • 矩阵和实数运算：对每个元素都和该实数做运算，eg:A+/-/*//a
  • ‘：transpose，转置

• 特殊矩阵：

  • eye(n)：n*n单位矩阵
  • zeros(n1,n2)：零矩阵
  • ones(n1,n2)：纯1矩阵
  • diag([a1,…,an])：对角矩阵

• 特殊函数：

  • max(A)：每个列的最大元素组成的行向量
  • max(max(A))：最大元素
  • min：完全同上
  • sum(A)：每个列的元素和组成的行向量；mean(A)：同理
  • sort(A)：把每个列按从小到大排序；sortrows(A)：把行看成一个整体，按字典序排序
  • size(A)：返回[行数 列数]；length(A)：max(行数，列数); width(A)：min

Lecture 2 Matlab程序编写

Script Writing（脚本编写）

• New Script: 新建一个程序，独立成一个视窗；F5/运行

• fx:提醒要用的function的名称

• 调试：

  • 注释：%，多行选中用右键command；%%XXXX%%：划分区块，可以只run一个区块

  • 其它包括断点用法和C++一样；在端点处停止的时候可以看当前workspace的状态

  • 选中右键：smart indent，自动缩进

• 执行

  • Matlab是一个脚本语言：按行的顺序执行程序；否则我们就要使用structured programming，例如循环

    • if,elseif,else; for,switch,case,otherwise; try,catch; while; break,continue,end,pause,return(和C++真的很像，但是条件判断后面要加end)

      一些细节：

      • switch xxx

        case xxx

        ​ statement

        otherwise

        ​ statement

        end

      • for n=start:increment:end,incre=1时可以省略

        end

      • 注意在执行新程序之前先把旧的workspace清空，防止变量名干扰

    • 逻辑判定：<,<=,>,>=,==,~=,&&（只有这两个和Cpp不一样）||

    • 输出：disp()

    • 程序加速：预分配大小（经典操作）

    • 计时：tic/toc

• Tips：

  • clear all：清除原来的所有变量；close all：关闭所有图像
  • 换行号：…
  • 在command界面按ctrl+C：终止当前运行的程序

函数

• fuction y=name(x)，x输入，y输出

• local variables

• 新建一个脚本，在里面写上函数，然后保存到文件夹里面，就能用了

• 在编写函数脚本的时候注意输入是否可能是向量，如果是的话做运算的时候需要使用.*等算符

• 多个输入和输出：function [a1 a2 a3]=name(b1,b2,b3,b4 )

• 多类输入：类似C++的重载：

  • nargin：判断输入的数量，如果不足可以补一个default
  • nargout：同理
  • varargin：判断输入的大小
  • varagout：同理

• function handle：指向函数的指针：

  f=@(x) exp(-2*x);：输入x，对x执行exp(-2*x)

Lecture 3 Variables and Data access

常用的变量类型

• 强制类型转换：数据类型+() a=int8(10)/double(b)/…

• numeric：int8, int32,…，uint8(unsigned),double

• character：字母，s1=‘h’，ASCII

• string：字符串，s1=‘wdnoifnow’

  • 加长：s3=[s1 s2]，可见字符串在mat里面的存储方式就是一个char数组
  • 字符串切片：str(4)，str([1 2 4 4])等，也可以通过切片直接对str对应位置赋值
  • 注：str==‘a’会返回每个位置上是否等于a的一个逻辑数组
  • 技巧：如果要把str里面的‘a’全换成‘z’，使用str(str==‘a’)=‘z’

• structure（结构体）

  • variable.subvar=：把variable看做一个结构体
  • variable的indexing：variable(n).subvar（事实上创建variable的时候就默认是一个数组了）
  • field：subvariables的统称，操作：删除：rmfield(var,subvarname)

• cell（阵列）

  • 在矩阵的每个单元里面放不同的数据类型，可以是矩阵

  • 声明：{}，两种用法，等价于：A(1,1)=&fewbfn

    • A(1,1)={fewbfowie}
    • A{1,1}=fewfiewfoi

  • 实现：构造一个指针矩阵即可

  • 读取：A(1,1)：&fewbfn; A{1,1}：fewbfn，是不一样的

    数据矩阵=>cell：num2cell；分块=>cell：mat2cell

• 多维数组

  • 三维：row,col,layer三级索引，很复杂

  • 辅助指令：cat() concatenation

    A,B为待接矩阵，cat(1,A,B)=AB按行接([A;B])；cat(2,A,B)=AB按列接([A B])；cat(3,A,B)=AB按层接，以此类推

    =>先建好各层的矩阵，然后按层搭建起来

  • reshape：把n*m的矩阵Areshape成i*j的矩阵，cell也能用

    reshape(A,i,j)

• 数据类型检测：isxxx(var)

File Access(存储/读取文件)

• load&save

  • save filename.mat (-ascii（加上则可以使用文本编辑器打开）)

  • load data：load(‘filename.mat’,(’-ascii’加上则对应文本编辑器的格式)

• excel files

  • xlsread(‘excelname.xlsx’ (,’B2:D4’：指定读取范围))

    但是只会读取数字部分，文字的部分会自动去掉

  • xlswritre(‘filename.xlsx’,variable,sheet, ‘E2:E4’（指定写入位置）)，这时候可以写入字符串

• low-level File I/O

  • 读取必需品：fid(file ID)& pointer
  • fid=fopen(‘filename’,’permission’(r,w：读&写))
  • 写：fprintf(fid,’格式’,varname)，其中格式与Cpp的printf要求相同
  • 检测结尾：feof(fid)

Lecture 4 绘图初阶

绘图原理

• 电脑看不懂函数

  • 基本思维：插值+平滑/分段

• h=plot(x,y)：把所有点对(xi,yi)绘制出来

  做新的plot的时候会默认覆盖原来的内容，除非使用指令

  hold on +hold off，则在中间的所有plot都会保留在figure上面

  • 图像的style调整：plot(x,y,’str’)，str依次由以下部分组成

    • Data markers：数据点的表示：‘.’,’*’,’+’,‘o’,’x’等
    • Line types：线的描绘：‘-’,’–’,’:’等
    • Color：颜色:黑k蓝b红r绿g黄y……

  • 串联：plot(x,y,’bd-’,x,h,’gp:’,x,w,’ro-’,…)

  • legend()：图标

    legend(‘L1’,’L2’,’L3’)：按串联顺序制造注记with name

  • title(), xlabel(), ylabel()：给坐标轴和整个图起名字

    数学符号命名：\pi or e^{-x}

    插入文本：LATEX表示：‘$$\int_0^2 x^{2\sin(x)dx$$’，需要调用latex编译器：str=‘$$\int_0}2 x^2\sin(x)dx$$’，text(placex,placey,str,’Interpreter’,’latex’)

• figure adjustment：关键：组件的调整

  • 对象：figure, axis, line (plot)

  • 属性：font, fontsize, linewidth, axislimit, tickposition, ticklabel

  • 在画出的图上点击Edit编辑属性即可

  • 要提供object的handle，然后modify properities

    • get：取出property

      h=plot(x,y)；get(h)：取出line的性质

      get(gca)：取出axis的性质

    • set：改变property

      set(gca/h, ‘propertyname’, modified value)

    • 还可以直接在属性编辑器窗口里面改变数值，不过代码生成的图像相对比较连贯，属性编辑器比较时候做数据计算出来之后的一些微调

• 多图

  • figure,plot(x,y1); figure,plot(x,y2);

  • 注意：这时候使用gca和gcf只能传回最新的图的属性

  • 一个figure中画多个图：

    • subplot(m,n,x)：图矩阵的row,col，第x个

    • axis equal：x,y间距等距

      axis square：x,y跨度相等

      axis normal：图看起来比较正

      注：只能操作最新的

• 图像的存储：

  • saveas(gcf,’filename’,’formattype’);

    位图：‘jpeg’,’png’

    矢量图：‘pdf’,’eps’

Lecture 5 2d&3d pictures

常用图表类型：

• 对数图：

  • x=logspace(a,b,space)
  • semilogx(x,y)（x对数）,semilogy(x,y)（y对数）,Loglog(x,y)（x,y都是对数）

• 双y图：

  • plotyy(x,y1,x,y2)
  • 改变label：查罢

• 条形图：

  • bar就完了，可以输入矩阵，得到平行条形图
  • bar(y,’stacked’)

• fill()：在一个封闭点用直线连接围成的区域内填充某个颜色

• color space：RGB配色：

  [R G B],0~255

• imagesc()

  • 色彩构成另外一个维度
  • 三维图=二维colorbar图：imagesc(z)+colorbar(颜色轴)；调整色系colormap(Name), 是一个巨大的RGB数组

3D图

• 三维曲线：plot3(x,y,z1,str1,x,y,z2,str2,…)

• 三维曲面：

  • meshgrid：创建在给定范围内的x,y值，eg:[x,y]=meshgrid(a:space:b,c:space:d)，返回的是两个矩阵，在对应点取得对应的数值

  • surf(x,y,z)：用小正方形拟合曲面；mesh(x,y,z)：用色块拟合曲面；contour(x,y,z)：对z做切片；meshc/surfc：在下面多画一个contour

• 三维物体：

  • view(a,b)：选取某个角度看三维物体

  • light(‘Position’,[a,b,c])：打光位置

  • patch(‘Verices’,v)：以矩阵v指定的位置的凸包绘制多边形

Matlab的工程应用

Lecture 1 微积分

微分

• 多项式

  • 表示：向量 p=[1 0 -2 -5]
  • 求值：polyval(a,x); a是多项式向量，x是要求值的区域，可以是向量，此时返回的结果就是一个向量
  • 求导：polyder§；积分:polyint§；乘法：conv(a,b)

• 数值微分

  • diff()：计算一个vector之间前后数值的差异

    diff([1 3 5 2 1])=[2 2 -3 -1]

  • 一列点的横坐标x，纵坐标y，则slope=diff(y)./diff(x)即为这些点之间的斜率

  • 给定f，求f在a:h:b上的数值微分：

    m=diff(f(a:h:b+h))/h

    数学表示:f’(x)=diff(fx)./diff(x)，这样间距可以不同

    注意diff会减少一个数量，因此plot的时候横坐标应该使用x(1:end-1)

• 数值积分

  • 中点公式/梯形公式

  • 中点公式：

    • midpoint: mid=(x(1:end-1)+x(2:end))/2
    • sum(h*f(mid))

  • 梯形公式：

    • h*trapz(f(x)), trapz：梯形，相当于做梯形后加起来

  • Simpson：

    • 1/3(f0+4f1+f2)

Matlab内嵌函数

• fuction handle（函数指针）：

  • 作用：在函数中作为输入，如xy_plot(input, x), 然后input @sin
  • 使用：@sin(x)=sin(x)

• 数值积分函数：integral()

  • 输入函数指针和积分区间即可

  • 函数指针的建立：y=@x 1./(x.^3-2.*x-5);

  • 多元积分：f=@(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);

    integral2(f,a,b,c,d)，[a,b]是x的积分区间，[c,d]是y的积分区间

Lecture 2 方程式求根

Symbolic Approach（符号方法）

• 定义符号变量：syms x，也就是x不是变量，而是一个符号

  • 这时候可以定义方程：y=sinx+x^2;

  • solve()函数：对于给定的方程求根：solve(y,x)，前者是equation，后者是symbol，自动求解y=0时x的值，返回一个向量

  • 多元方程组：syms x,y; eq1=…; eq2=…; A=solve(eq1,eq2,x,y);返回一个structure, A.x和A.y就是对应的各组解中x,y的值

  • 含参方程组：syms x,arg1,arg2,… A=solve(eq1,…,x)（用别的参数表示x），其中equation不能直接用字符串表示（后来移除了这个功能）

  • 含参微分：在含参数的情况下，diff(f,y/x)也能计算其微分，但是只能求偏导

  • 含参积分：z=int(y)会求积分，但是后面的常数是随便加的，要减掉就使用z-subs(z,x,0)（在z中代入x=0）

• 数值求解

  • f2= @(x) (1.2*x+…)

    fsolve(f2,0)，后面的值是猜测的初值（牛顿法，比较难收敛）

    fzero(f2,0)（二分法，在f和x轴相切时解不出来）

  • 进阶：options=optimset(‘MaxIter’,val1, ‘TolFun’, val2)

    fsolve/fzero(f,initval, options)，可以设定初值条件

  • polynomial专用：roots(polynomial vector)

• 递归