Beta 积分
B ( a , b ) = ∫ 0 1 t a ( 1 − t ) b = a ! b ! ( a + b + 1 ) ! B(a,b)=\int_{0}^{1}t^a(1-t)^b=\frac{a!b!}{(a+b+1)!} B(a,b)=∫01ta(1−t)b=(a+b+1)!a!b!
常系数齐次递推
卡特兰数
求导将生成函数计算转化为递推
f ( x ) = e − 2 x 1 − 4 x f(x)=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{1-4x}} f(x)=1−4xe−2x
有些特殊的二元生成函数可退化为一元生成函数
−
x
+
∑
k
=
1
∞
2
x
k
y
k
−
1
=
x
(
1
+
x
y
)
1
−
x
y
-x+\sum_{k=1}^{\infty}2x^ky^{k-1}=\frac{x(1+xy)}{1-xy}
−x+k=1∑∞2xkyk−1=1−xyx(1+xy)
二次根号
(
−
1
2
k
)
=
(
−
1
)
k
4
k
(
2
k
k
)
(
1
2
k
)
=
(
−
1
)
k
−
1
4
k
(
2
k
−
1
)
(
2
k
k
)
{-\frac{1}{2}\choose k}=\frac{(-1)^k}{4^k}{2k\choose k}\\ {\frac{1}{2}\choose k}=\frac{(-1)^{k-1}}{4^k(2k-1)}{2k\choose k}
(k−21)=4k(−1)k(k2k)(k21)=4k(2k−1)(−1)k−1(k2k)
求导得通项公式
H
(
x
)
=
∑
n
=
0
x
n
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
n
[
x
n
]
i
!
(
x
−
x
2
x
−
1
)
i
H(x)=\sum_{n=0}x^n\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n}[x^n]i!\left(\frac{x-x^2}{x-1}\right)^i
H(x)=n=0∑xni=0∑n(−1)n[xn]i!(x−1x−x2)i
经典ODF
ln
(
1
1
−
x
)
e
x
(
1
+
x
)
n
1
(
1
−
x
)
n
+
1
(
1
+
x
)
1
n
\ln(\frac{1}{1-x})\\ e^x\\ (1+x)^n\\ \frac{1}{(1-x)^{n+1}}\\ (1+x)^{1\over n}
ln(1−x1)ex(1+x)n(1−x)n+11(1+x)n1
ODF的组合意义是骨牌密铺
EGF的组合意义是纸袋染色
exp的组合意义是有标号计数
PGF相关计算
期望计算
方差计算
二项式计算
上指标求和
下指标求和
上指标卷积
下指标卷积
上升幂和下降幂的二项式定理
牛顿级数
组合数的生成函数
G
[
n
,
m
]
=
(
n
m
)
G
(
x
,
y
)
=
1
1
−
x
−
x
y
G[n,m]={n\choose m}\\ G(x,y)=\frac{1}{1-x-xy}
G[n,m]=(mn)G(x,y)=1−x−xy1
第一类斯特林数
定义
[
n
m
]
=
[
n
−
1
m
−
1
]
+
(
n
−
1
)
[
n
−
1
m
]
\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}n-1\\m-1\end{matrix}\right]+(n-1)\left[\begin{matrix}n-1\\m\end{matrix}\right]
[nm]=[n−1m−1]+(n−1)[n−1m]
二元EGF
∑
n
∞
∑
m
∞
[
n
m
]
x
n
y
m
n
!
=
(
1
−
x
)
−
y
\sum_{n}^{\infty}\sum_{m}^{\infty}\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]\frac{x^ny^m}{n!}=(1-x)^{-y}
n∑∞m∑∞[nm]n!xnym=(1−x)−y
一行第一类斯特林数
∑
i
=
0
n
[
n
i
]
x
i
=
x
n
‾
\sum_{i=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]x^i=x^{\overline{n}}
i=0∑n[ni]xi=xn
一列第一类斯特林数
∑
i
=
0
∞
[
i
m
]
x
i
i
!
=
(
−
ln
(
1
−
x
)
)
m
m
!
\sum_{i=0}^{\infty}\left[\begin{matrix}i\\m\end{matrix}\right]\frac{x^i}{i!}=\frac{(-\ln(1-x))^m}{m!}
i=0∑∞[im]i!xi=m!(−ln(1−x))m
第一类斯特林数与上升幂和下降幂的关系
x
n
‾
=
∑
k
=
0
n
[
n
k
]
x
k
x
n
‾
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
n
−
k
[
n
k
]
x
k
x^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]x^k\\ x^{\underline{n}}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]x^k\\
xn=k=0∑n[nk]xkxn=k=0∑n(−1)n−k[nk]xk
斯特林反演求牛顿级数
第二类斯特林数
定义
{
n
m
}
=
{
n
−
1
m
−
1
}
+
m
{
n
−
1
m
}
\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}n-1\\m-1\end{matrix}\right\}+m\left\{\begin{matrix}n-1\\m\end{matrix}\right\}
{nm}={n−1m−1}+m{n−1m}
二元生成函数
∑
n
∞
∑
m
∞
{
n
m
}
x
n
y
m
n
!
=
exp
(
y
(
e
x
−
1
)
)
\sum_{n}^{\infty}\sum_{m}^{\infty}\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\frac{x^ny^m}{n!}=\exp(y(e^x-1))
n∑∞m∑∞{nm}n!xnym=exp(y(ex−1))
一行第二类斯特林数
m
n
=
∑
i
=
0
m
{
n
i
}
(
m
i
)
i
!
{
n
m
}
=
∑
i
=
0
m
i
n
i
!
⋅
(
−
1
)
m
−
i
(
m
−
i
)
!
m^n=\sum_{i=0}^m\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}{m\choose i}i!\\ \left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\sum_{i=0}^{m}\frac{i^n}{i!}\cdot\frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}
mn=i=0∑m{ni}(im)i!{nm}=i=0∑mi!in⋅(m−i)!(−1)m−i
一列第二类斯特林数
∑
i
=
0
∞
{
i
m
}
x
i
i
!
=
(
e
x
−
1
)
m
m
!
\sum_{i=0}^{\infty}\left\{\begin{matrix}i\\m\end{matrix}\right\}\frac{x^i}{i!}=\frac{(e^x-1)^m}{m!}
i=0∑∞{im}i!xi=m!(ex−1)m
第二类斯特林数求自然数幂和
设
0
≤
k
≤
n
0\le k\le n
0≤k≤n。
∑
i
=
0
n
i
k
=
∑
i
=
0
k
{
k
i
}
(
n
+
1
i
+
1
)
i
!
\sum_{i=0}^{n}i^k=\sum_{i=0}^{k}\left\{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}\right\}{n+1\choose i+1}i!
i=0∑nik=i=0∑k{ki}(i+1n+1)i!
可以做到
O
(
k
)
O(k)
O(k)。
斯特林反演
f
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
{
n
i
}
g
(
i
)
⇔
g
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
n
−
i
[
n
i
]
f
(
i
)
f
(
n
)
=
∑
i
=
n
m
{
i
n
}
g
(
i
)
⇔
g
(
n
)
=
∑
i
=
n
m
(
−
1
)
i
−
n
[
i
n
]
f
(
i
)
f(n)=\sum_{i=0}^{n}\left\{\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right\}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\left[\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right]f(i)\\ f(n)=\sum_{i=n}^{m}\left\{\begin{matrix}i\\n\end{matrix}\right\}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^{m}(-1)^{i-n}\left[\begin{matrix}i\\n\end{matrix}\right]f(i)\\
f(n)=i=0∑n{ni}g(i)⇔g(n)=i=0∑n(−1)n−i[ni]f(i)f(n)=i=n∑m{in}g(i)⇔g(n)=i=n∑m(−1)i−n[in]f(i)
上升幂和下降幂转普通幂
x
n
=
∑
k
=
0
n
{
n
k
}
x
k
‾
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
n
−
k
{
n
k
}
x
k
‾
x^n=\sum_{k=0}^{n}\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}x^{\underline{k}}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\left\{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\}x^{\overline{k}}
xn=k=0∑n{nk}xk=k=0∑n(−1)n−k{nk}xk
exp求自然数幂和
设
0
≤
k
≤
n
0\le k\le n
0≤k≤n。
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
∑
i
=
0
n
i
k
)
x
k
k
!
=
∑
i
=
0
n
e
i
x
=
e
(
n
+
1
)
x
−
1
e
x
−
1
\begin{aligned} f(x)&=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{i=0}^{n}i^k\right)\frac{x^k}{k!}\\ &=\sum_{i=0}^{n}e^{ix}\\ &=\frac{e^{(n+1)x}-1}{e^x-1} \end{aligned}
f(x)=k=0∑∞(i=0∑nik)k!xk=i=0∑neix=ex−1e(n+1)x−1
如果我们定义
B
(
x
)
=
x
e
x
−
1
B(x)=\frac{x}{e^x-1}
B(x)=ex−1x
则
f
(
x
)
=
B
(
x
)
⋅
e
(
n
+
1
)
x
−
1
x
f(x)=B(x)\cdot\frac{e^{(n+1)x}-1}{x}
f(x)=B(x)⋅xe(n+1)x−1
若将问题拓展，求
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
i
k
\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}i^k
i=0∑n(in)ik
则可令
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
i
k
)
x
k
k
!
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
e
i
x
=
(
e
x
+
1
)
n
=
2
n
(
e
x
+
1
2
)
n
\begin{aligned} f(x)&=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}i^k\right)\frac{x^k}{k!}\\ &=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}e^{ix}\\ &=(e^x+1)^n\\ &=2^n\left(\frac{e^x+1}{2}\right)^n \end{aligned}
f(x)=k=0∑∞(i=0∑n(in)ik)k!xk=i=0∑n(in)eix=(ex+1)n=2n(2ex+1)n
这说明了与自然数幂和有关的问题可以利用这个方法求解
拆分数和五边形数定理
设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 代表拆分数的生成函数，显然有
f
(
x
)
=
∏
i
=
1
∞
1
1
−
x
i
f(x)=\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^i}
f(x)=i=1∏∞1−xi1
设
ϕ
(
x
)
\phi(x)
ϕ(x)
ϕ
(
x
)
=
∏
i
=
1
∞
(
1
−
x
i
)
\phi(x)=\prod_{i=1}^{\infty}(1-x^i)
ϕ(x)=i=1∏∞(1−xi)
也就是说
f
(
x
)
=
1
ϕ
(
x
)
\displaystyle f(x)=\frac{1}{\phi(x)}
f(x)=ϕ(x)1。
五边形数定理就是
ϕ
(
x
)
=
1
+
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
x
i
(
3
i
±
1
)
/
2
\phi(x)=1+\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^ix^{i(3i\pm1)/2}
ϕ(x)=1+i=1∑∞(−1)ixi(3i±1)/2
for(int i = 1, d; (d = i*(3*i-1)/2) <= n; ++i){
a[d] = i&1?-1:1;
if ((d += i) <= n) a[d] = i&1?-1:1;
else break;
}
组合结构符号化
单位元
E
\mathcal{E}
E
E
=
1
\mathcal{E}=1
E=1
单点集
Z
\mathcal{Z}
Z
Z
=
z
\mathcal{Z}=z
Z=z
Sequence
\text{Sequence}
Sequence 构造
SEQ
(
A
)
=
E
+
A
×
A
+
A
×
A
×
A
+
.
.
.
=
1
1
−
A
(
z
)
\text{SEQ}(\mathcal{A})=\mathcal{E}+\mathcal{A}\times\mathcal{A}+\mathcal{A}\times\mathcal{A}\times\mathcal{A}+...\\ =\frac{1}{1-A(z)}
SEQ(A)=E+A×A+A×A×A+...=1−A(z)1
A
m
p
l
i
f
i
c
a
t
i
o
n
k
\mathrm{Amplification_k}
Amplificationk 构造
A
M
P
k
(
A
)
=
{
(
a
,
a
,
.
.
.
,
a
)
∣
a
∈
A
}
\mathrm{AMP}_k(\mathcal{A}) = \{(a,a,...,a)|a\in\mathcal{A}\}
AMPk(A)={(a,a,...,a)∣a∈A}
膨胀构造一般用于复制。
比如 a b a c b abacb abacb 复制 k k k 次就是 a b a c b ∣ a b a c b ∣ a b a c b ∣ . . . . ∣ a b a c b abacb|abacb|abacb|....|abacb abacb∣abacb∣abacb∣....∣abacb，相当于 a a a . . . a ∣ b b b . . . b ∣ a a a . . . a ∣ c c c . . . c ∣ b b b . . . b aaa...a|bbb...b|aaa...a|ccc...c|bbb...b aaa...a∣bbb...b∣aaa...a∣ccc...c∣bbb...b，也就是说两者有双射关系。
置换群下的等价类
设 A ⊆ S E Q ( B ) \mathcal{A}\sube\mathrm{SEQ}(\mathcal{B}) A⊆SEQ(B)， G G G 某些置换群的并集（这不意味着 G G G 是群）， G k G_k Gk 是 G G G 中长度为 k k k 的置换群 。
可定义分类集 S = A / G S=\mathcal{A}/\mathrm{G} S=A/G。
∀ s ∈ S \forall s\in S ∀s∈S，满足 s ⊆ A s\sube \mathcal{A} s⊆A， ∀ x , y ∈ s , ∃ g ∈ G \forall x,y\in s,\ \exists g\in G ∀x,y∈s, ∃g∈G，使得 g ( x ) = y g(x)=y g(x)=y。
C y c l e \mathrm{Cycle} Cycle 构造
令 G G G 为全体环置换组成的置换群列。定义“生成（无标号）环构造”为 ：
C Y C ( A ) = ( S E Q ( A ) − E ) / G {\rm CYC}(\mathcal A)=({\rm SEQ}(\mathcal A)-\mathcal E)/G CYC(A)=(SEQ(A)−E)/G
考虑从
A
\mathrm{A}
A 中取出
k
k
k 个元素组成的结构，它在
G
k
G_k
Gk（长度为
k
k
k 的环置换）的等价类
C
Y
C
k
(
A
)
=
(
S
E
Q
k
A
)
/
G
k
\mathrm{CYC}_k(\mathcal{A})=({\rm SEQ}_k\mathcal A)/G_k
CYCk(A)=(SEQkA)/Gk
枚举
G
k
G_k
Gk 中旋转的步长
i
i
i，由
burnside
\text{burnside}
burnside 定理可知
C k ( x ) = 1 k ∑ i = 0 k − 1 A ( x k / gcd ( i , k ) ) gcd ( i , k ) = 1 k ∑ g ∣ k φ ( g ) A ( x g ) k / g \begin{aligned} C_k(x)&=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}A(x^{k/\gcd(i,k)})^{\gcd(i,k)}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{g|k}\varphi(g)A(x^{g})^{k/g} \end{aligned} Ck(x)=k1i=0∑k−1A(xk/gcd(i,k))gcd(i,k)=k1g∣k∑φ(g)A(xg)k/g
然后求
C
(
x
)
C(x)
C(x)。
C
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
C
k
(
x
)
=
∑
g
=
1
∞
φ
(
g
)
g
∑
t
=
1
∞
A
(
x
g
)
t
t
=
∑
g
=
1
∞
φ
(
g
)
g
ln
(
1
1
−
A
(
x
g
)
)
\begin{aligned} C(x)&=\sum_{k=1}^{\infty}C_k(x)\\ &=\sum_{g=1}^{\infty}\frac{\varphi(g)}{g}\sum_{t=1}^{\infty}\frac{A(x^g)^t}{t}\\ &=\sum_{g=1}^{\infty}\frac{\varphi(g)}{g}\ln(\frac{1}{1-A(x^g)}) \end{aligned}
C(x)=k=1∑∞Ck(x)=g=1∑∞gφ(g)t=1∑∞tA(xg)t=g=1∑∞gφ(g)ln(1−A(xg)1)
M
u
l
t
i
s
e
t
\mathrm{Multiset}
Multiset 构造
设
G
G
G 为全体置换组成的置换群列。定义无序构造为
M
S
E
T
(
A
)
=
(
S
E
Q
(
A
)
−
E
)
/
G
\mathrm{MSET}(\mathcal{A})=(\mathrm{SEQ}(\mathcal{A})-\mathcal{E})/G
MSET(A)=(SEQ(A)−E)/G
M
S
E
T
\mathrm{MSET}
MSET 构造相当于完全背包，它对应的生成函数为
∏
k
=
1
∞
(
1
1
−
x
k
)
A
[
k
]
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1-x^k}\right)^{A[k]}
k=1∏∞(1−xk1)A[k]
这个也称作欧拉变换。
求其逆变换需要莫比乌斯反演。
P
o
w
e
r
S
e
t
\mathrm{PowerSet}
PowerSet 构造
P
S
E
T
(
A
)
=
∏
a
∈
A
(
{
ϵ
}
+
{
a
}
)
\mathrm{PSET}(\mathcal{A})=\prod_{a\in\mathcal{A}}(\{\epsilon\}+\{a\})
PSET(A)=a∈A∏({ϵ}+{a})
这相当于
01
\text{01}
01 背包。
P
(
x
)
=
∏
i
=
0
∞
(
1
+
x
k
)
A
[
k
]
P(x)=\prod_{i=0}^{\infty}(1+x^k)^{A[k]}
P(x)=i=0∏∞(1+xk)A[k]
