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第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等变换
对换两行（列），记作
r
i
↔
r
j
(
c
i
↔
c
j
)
r_{i} \leftrightarrow r_{j} (c_{i} \leftrightarrow c_{j})
ri↔rj(ci↔cj)
以数
k
≠
0
k \ne 0
k=0 乘某一行（列）中的所有元，记作
r
i
×
k
（
c
i
×
k
）
r_{i} \times k （ c_{i} \times k ）
ri×k（ci×k）
把某一行（列）所有元的 k 倍加到另一行（列）对应的元上去，记作
r
i
+
k
r
i
（
c
i
+
k
c
i
）
r_{i} + kr_{i} （ c_{i} + kc_{i} ）
ri+kri（ci+kci）
矩阵等价 如果矩阵
A
\bm{A}
A 经过优有限次初等变换变成矩阵
B
\bm{B}
B ，就称矩阵
A
\bm{A}
A 与矩阵
B
\bm{B}
B 等价，记作
A
∼
B
\bm{A} \sim \bm{B}
A∼B .
矩阵等价满足：
A
∼
A
\bm{A} \sim \bm{A}
A∼A
若
A
∼
B
\bm{A} \sim \bm{B}
A∼B
则
B
∼
A
\bm{B} \sim \bm{A}
B∼A
若
A
∼
B
\bm{A} \sim \bm{B}
A∼B
B
∼
C
\bm{B} \sim \bm{C}
B∼C
则
A
∼
C
\bm{A} \sim \bm{C}
A∼C
定理 设
A
\bm{A}
A与
B
\bm{B}
B 为
m
×
n
m \times n
m×n矩阵，那么
A
∼
r
B
\bm{A} \overset{r}{\sim} \bm{B}
A∼rB的充分必要条件是
∃
P
=
(
p
i
j
)
m
×
m
,
∣
P
∣
≠
0
s
.
t
.
P
A
=
B
\exists \bm{P} = (p_{ij})_{m \times m},~|\bm{P}| \ne 0 ~~ s.t.~\bm{P}\bm{A}=\bm{B}
∃P=(pij)m×m, ∣P∣=0 s.t. PA=B
A
∼
r
B
\bm{A} \overset{r}{\sim} \bm{B}
A∼rB的充分必要条件是
∃
Q
=
(
q
i
j
)
n
×
n
,
∣
Q
∣
≠
0
s
.
t
.
A
Q
=
B
\exists \bm{Q} = (q_{ij})_{n \times n},~|\bm{Q}| \ne 0 ~~ s.t.~\bm{A}\bm{Q}=\bm{B}
∃Q=(qij)n×n, ∣Q∣=0 s.t. AQ=B
A
∼
B
\bm{A} \sim \bm{B}
A∼B的充分必要条件是
∃
P
=
(
p
i
j
)
m
×
m
,
Q
=
(
q
i
j
)
n
×
n
,
∣
P
∣
≠
0
,
∣
Q
∣
≠
0
s
.
t
.
P
A
Q
=
B
\exists \bm{P} = (p_{ij})_{m \times m},~ \bm{Q} = (q_{ij})_{n \times n},~ |\bm{P}| \ne 0,~ |\bm{Q}| \ne 0 ~~ s.t.~ \bm{PAQ}=\bm{B}
∃P=(pij)m×m, Q=(qij)n×n, ∣P∣=0, ∣Q∣=0 s.t. PAQ=B
3.2 矩阵的秩
子式 在 m × n m \times n m×n矩阵 A \bm{A} A中，任取 k 行 k 列，位于这些行列交叉处的 k 2 k^{2} k2 个元素，不改变它们在 A \bm A A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A \bm A A的 k 阶子式。
秩 若矩阵 A \bm A A中存在一个不为零的 r 阶子式，且所有 r+1 阶子式全为零，那么数 r 称为矩阵 A \bm A A 的秩，记作 R ( A ) R(\bm A) R(A). 规定零矩阵的秩为 0 .
矩阵的秩有以下性质：
0
≤
R
(
(
a
i
j
)
m
×
n
)
≤
min
{
m
,
n
}
R
(
(
A
)
T
)
=
R
(
A
)
∣
(
a
i
j
)
n
×
n
∣
=
0
,
R
(
(
a
i
j
)
n
×
n
)
<
n
0\leq R((a_{ij})_{m \times n})\leq\min\{m,n\} R((\bm A)^\mathrm T) = R(\bm A) |(a_{ij})_{n \times n}|=0,~ R((a_{ij})_{n \times n})<n
0≤R((aij)m×n)≤min{m,n}R((A)T)=R(A)∣(aij)n×n∣=0, R((aij)n×n)<n
若
A
∼
B
\bm A\sim\bm B
A∼B ，则
R
(
A
)
=
R
(
B
)
max
{
R
(
A
)
,
R
(
B
)
}
≤
R
(
A
,
B
)
≤
R
(
A
)
+
R
(
B
)
R(\bm A)=R(\bm B) \max\{R(\bm A),R(\bm B)\}\leq R(\bm A,\bm B)\leq R(\bm A)+R(\bm B)
R(A)=R(B)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
R
(
A
+
B
)
≤
R
(
A
)
+
R
(
B
)
R(\bm A+\bm B)\leq R(\bm A)+R(\bm B)
R(A+B)≤R(A)+R(B)
R
(
A
B
)
≤
min
{
R
(
A
)
,
R
(
B
)
}
R(\bm{AB})\leq\min\{R(\bm A),R(\bm B)\}
R(AB)≤min{R(A),R(B)}
若
A
m
×
n
B
n
×
l
=
O
\bm{A}_{m \times n}\bm{B}_{n \times l}=\bm O
Am×nBn×l=O，则
R
(
A
)
+
R
(
B
)
≤
n
R(\bm A)+R(\bm B) \leq n
R(A)+R(B)≤n
3.3 方程组的解
n \bm n n 元齐次线性方程组解的判定 n 元齐次线性方程组 A x = 0 \bm{Ax}=\bm{0} Ax=0 解的情况如下：
有非零解的充分必要条件是
R
(
A
)
<
n
R(\bm A)<n
R(A)<n，即
∣
A
∣
=
0
| \bm A | = 0
∣A∣=0
只有零解的充分必要条件是
R
(
A
)
=
n
R(\bm A)=n
R(A)=n ，即
∣
A
∣
≠
0
|\bm A|\ne0
∣A∣=0
n
\bm n
n 元非齐次线性方程组解的判定 n 元非齐次线性方程组
A
x
=
b
\bm{Ax}=\bm{b}
Ax=b 解的情况如下：
无解的充分必要条件是
R
(
A
)
<
R
(
A
,
b
)
R(\bm A)<R(\bm A,\bm b)
R(A)<R(A,b)
有解的充分必要条件是
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
R(\bm A)=R(\bm A,\bm b)
R(A)=R(A,b) ，其中
有惟一解的充分必要条件是
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
=
n
R(\bm A)=R(\bm A,\bm b)=n
R(A)=R(A,b)=n
有无穷多解的充分必要条件是
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
<
n
R(\bm A)=R(\bm A,\bm b)<n
R(A)=R(A,b)<n
矩阵方程解的判定 矩阵方程
A
X
=
B
\bm{AX}=\bm{B}
AX=B 解的情况如下：
无解的充分必要条件是
R
(
A
)
<
R
(
A
,
B
)
R(\bm A)<R(\bm A,\bm B)
R(A)<R(A,B)
有解的充分必要条件是
R
(
A
)
=
R
(
A
,
B
)
R(\bm A)=R(\bm A,\bm B)
R(A)=R(A,B)
