零钱兑换 II

问题描述

给定不同面额的硬币和一个总金额，写一个函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

问题分析

这是一个典型的动态规划问题。我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，我们可以使用一个一维数组dp来记录目标金额为i时的硬币组合数。数组dp的长度为目标金额加一，初始时所有元素都为零。然后，我们遍历硬币的面额，对于每个面额coin，我们从coin开始遍历到目标金额amount，并更新dp[j]的值。更新的逻辑是，对于每个j，dp[j]的值等于dp[j]和dp[j-coin]之和，其中dp[j-coin]表示使用硬币coin时的组合数，dp[j]表示不使用硬币coin时的组合数。最终，返回dp[amount]即可。

算法实现

下面是整个算法的流程图：

下面是具体的代码实现：

public int change(int amount, int[] coins) {
    // 初始化dp数组
    int[] dp = new int[amount + 1];
    dp[0] = 1;

    // 遍历硬币面额
    for (int coin : coins) {
        // 遍历目标金额
        for (int i = coin; i <= amount; i++) {
            // 更新dp[i]的值
            dp[i] += dp[i - coin];
        }
    }

    // 返回dp[amount]的值
    return dp[amount];
}

代码解析

首先，在算法的开始部分，我们初始化了一个一维数组dp，将所有元素都设置为零。数组的长度为目标金额amount加一，这是因为我们需要考虑目标金额为零的情况。然后，我们将dp[0]的值设置为1，表示当目标金额为零时，存在一种硬币组合方式，即不使用任何硬币。

接下来，我们使用两个嵌套的循环来遍历硬币的面额和目标金额。外层循环遍历硬币面额coin，内层循环从coin开始遍历到目标金额amount，并更新dp[i]的值。更新的逻辑是，我们将dp[i]的值加上dp[i-coin]的值，表示使用硬币coin时的组合数。

最后，我们返回dp[amount]的值，即为目标金额amount的硬币组合数。

总结

通过动态规划算法，我们可以高效地计算出给定金额的硬币组合数。这个算法的时间复杂度为O(amount * n)，其中，amount为目标金额，n为硬币的面额个数。通过使用动态规划算法，我们可以避免重复计算，从而提高了算法的效率。