伴随矩阵 C C C是把矩阵所有元素都替换成代数余子式,然后再转置的矩阵
A的逆矩阵可以这么算
A − 1 = 1 d e t ( A ) C T A^{-1}=\frac1{det(A)}C^T A−1=det(A)1CT
证明:
A
C
T
AC^T
ACT 的对角是A一行乘以这一行的余子式,根据行列式的计算方法,它的结果就是det(A),而非对角元素相当于用A的一行乘以其他行的余子式,这就相当于把A其他行换成A的这一行的行列式,因为有两个相同行,所以最终结果是0
因此
A
C
T
=
d
e
t
(
A
)
→
A
−
1
=
1
d
e
t
(
A
)
C
T
AC^T=det(A) \rightarrow A^{-1}=\frac1{det(A)}C^T
ACT=det(A)→A−1=det(A)1CT
克拉默法则
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b
x
=
A
−
1
b
x=A^{-1}b
x=A−1b
那么
x
i
=
d
e
t
(
B
i
)
/
d
e
t
(
A
)
x_i=det(B_i)/det(A)
xi=det(Bi)/det(A) ,这里面
B
i
B_i
Bi是A的第i列被换成b
上面这些中看不中用,公式看起来简洁,实际算起来麻烦
箱子几条边堆叠成的矩阵的行列式的绝对值是它的体积,行列式几个性质正好和体积互相印证
推广到三角形,就是两条边堆叠成的行列式的一般就是三角形的面积
