acwing 1047. 糖果 day01【c++】

• • 题目描述（题目难度：简单）
  • 解题报告
  • • 题意理解
    • DP分析
    • 注意事项——c++中负数取模的处理
  • 参考代码

题目描述（题目难度：简单）

由于在维护世界和平的事务中做出巨大贡献，Dzx被赠予糖果公司2010年5月23日当天无限量糖果免费优惠券。

在这一天，Dzx可以从糖果公司的 N 件产品中任意选择若干件带回家享用。

糖果公司的 N 件产品每件都包含数量不同的糖果。

Dzx希望他选择的产品包含的糖果总数是 K 的整数倍，这样他才能平均地将糖果分给帮助他维护世界和平的伙伴们。

当然，在满足这一条件的基础上，糖果总数越多越好。

Dzx最多能带走多少糖果呢？

注意：Dzx只能将糖果公司的产品整件带走。

输入格式
第一行包含两个整数 N 和 K。

以下 N 行每行 1 个整数，表示糖果公司该件产品中包含的糖果数目，不超过 1000000。

输出格式
符合要求的最多能达到的糖果总数，如果不能达到 K 的倍数这一要求，输出 0。

数据范围
1≤N≤100,
1≤K≤100,

输入样例：
5 7
1
2
3
4
5
输出样例：
14
样例解释
Dzx的选择是2+3+4+5=14，这样糖果总数是7的倍数，并且是总数最多的选择。

来源;acwing
原题传送门

解题报告

题意理解

注意一件产品中是有若干个糖果，现在需要实现的是获得尽可能多的糖果并且糖果总数要是k的倍数。因此顺势将我们的状态表示$f[i,j$]定义彻底清楚：
$f(i,j)$代表前$i$个物品的总价值 $\%k=j$ 的集合,在这里限制是关于 $\%k$余数是多少

DP分析

因为对于每件糖果只有拿和不拿两种选择，进而可以直接抽象为一个01背包问题

对于不包含物品$i$的情况：集合都不包括第$i$个物品，表示的意义就是前$i-1$个物品， %k=j 的集合：$f(i-1,j)$
对于包含物品$i$的情况：集合都包括第$i$个物品，这个时候，可以将这个集合拆分成为不包含$i$的板块加上这个一定存在的$i$的板块,就可以表示为，也从前$i-1$个中选择，同时在总和$j$中剔除$i$的糖果总数$w[i]$,将这个$w[i]$单独加上，因为集合维护的是 $总价值\%k=j$，故追加上一个$\%k$。

注意事项——c++中负数取模的处理

转移方程中的$(j-w[i])$可能为负的，必须要将余数变成$[0,n-1]$之间，所以c++负数取余要变成$((j-w[i])\%k+k)\%k$。
可以简单粗暴的记作加值模值

1.假如$(j-w[i]>=0)$，由于$k\%k=0$，所以不会影响。

2.假如$(j-w[i]<0)$, 带个负数进去试下就可以验证，在这里$+k$可以使$(j-w[i])\%k$变成$[0,n-1]$之间，再取余仍然是$[0,n-1]$之间。

参考代码

//所有从前i个物品中选择，总和除以k的余数是j的方案的集合
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;
int n, k;
int f[N][N];//一般第一维是数量，第二维是限制。这里的第二维就代表选取的总和最大的方案

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &k);

    memset(f, -0x3f, sizeof f);//f[0][1]、f[0][2]···无意义，把这些非法方案初始化为负无穷
    f[0][0] = 0;            //本题求的是最大值而不是方案数,因此为0
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        int w;
        scanf("%d", &w);
        for(int j = 0; j <= k; j ++){
            f[i][j] =f[i-1][j];
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][((j - w) % k + k ) % k] + w);
        }
    }

    printf("%d\n", f[n][0]);

    return 0;
}