霍夫线条变换

• 原理
• • 标准和概率霍夫变换
• API
• • 标准霍夫变换
  • 概率霍夫直线变换
• 实例

原理

霍夫直线变换一般用来检测直线，它要在边缘检测之后才能应用。

在数学上要定义一条直线通常有2种方法：

1. 笛卡尔坐标系：两点确定一条直线，即$(x_0,y_0),(x_1,y_1)$；
2. 极坐标：极角和极径确定一个向量$(r,\theta )$，与该向量垂直，且经过其端点的直线只有一条，即：
   $$y=(-\frac{\cos \theta }{\sin \theta })x+(\frac{r}{\sin \theta })$$
   该式变换可得：
   $$r=x\cos \theta +y\sin \theta$$
   因此对于极坐标系中的任意一点$(x_0,y_0)$，经过该点的所有直线都适用下面的等式：
   $$r_{\theta }=x_0\cdot \cos \theta +y_0\cdot \sin \theta (1)$$

对于任何确定的点$(x_0,y_0)$，$(1)$式中的$x,y$都是确定的，但是$r_{\theta }$和$\theta$是有很多解的，如果将这些解画出来，以$\theta$为横坐标、$r_{\theta }$为纵坐标作图，可以得到一个正弦曲线，这就是霍夫变换，这个坐标系也叫作霍夫空间。比如，当$x_0=8,y_0=6$时，可以得到下图：

在图片操作中，也是如此，每个像素的$(x,y)$是确定的，因此对多个像素点进行霍夫变换就可以得到一组正弦曲线。如果这些曲线有交叉，说明这些像素点在同一条直线上。比如，在上图中在加上点$x_1=4,y-1=9$和$x_2=12,y_2=3$的正弦曲线，可以得到下图：

可以看到3条曲线都相交于点$(0.925,9.6)$，也就是说点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$都在同一条直线上，而这条直线对应的极角和极径分别为：$\theta =0.925\pi ,r_{\theta }=9.6$。

从上面的例子可以看到，通过正弦曲线的交点可以找到对应点的共同直线。在某个交点相交的曲线越多，说明这个交点对应的直线经过更多的点。这样的话，就可以设置一个阈值来确定相交的曲线的最小数量。

以上就是霍夫直线变换的思路。总结定义如下：

1. 霍夫空间中的所有点称为accumulator；
2. 每个点上经过的曲线的数量，即累计器的值称为votes；
3. 曲线交点的纵坐标，即上例中的极径$r_{\theta }$，定义为rho
4. 曲线交点的横坐标，即上例中的极角$\theta$，定义为theta

标准和概率霍夫变换

OpenCV实现了两种霍夫直线变换：

1. 标准霍夫变换：

• 包括了上述例子中的大部分步骤，并最终给出向量$(\theta ,r_{\theta })$的结果，需要画出检测出的直线，需要自己求出$(\theta ,r_{\theta })$对应的直线上的两个点；
• 在OpenCV中使用HoughLines()函数实现

2. 概率霍夫直线变换

• 霍夫直线变换的更有效率的版本，最终给出直线的两个端点$(x_0,y_0,x_1,y_1)$，可以直接根据这两个坐标画线；
• 在OpenCV中使用HoughLinesP()函数实现

API

上述OpenCV中的2个函数的原型分别如下：

标准霍夫变换

void cv::HoughLines(InputArray	image,				//8位单通道二值化原图（即，经过边缘检测后的图片）
					OutputArray	lines,				//线条向量数组
					double		rho,				//霍夫空间中的纵坐标的最小单位
					double		theta,				//霍夫空间中的横坐标的最小单位
					int			threshold,			//accumulator上经过的曲线的数量的阈值,即votes的阈值
					double		srn = 0,			//极径rho的除数
					double		stn = 0,			//极角theta的除数
					double		min_theta = 0,		//检测直线的最小角度
					double		max_theta = CV_PI)	//检测直线的最大角度，不超过一个圆周率

概率霍夫直线变换

void cv::HoughLinesP(	InputArray		image,				//8位单通道二值化原图（即，经过边缘检测后的图片）
						OutiputArray	lines,				//线条向量数组
						double			rho,				//霍夫空间中纵坐标的最小单位
						double			theta,				//霍夫空间中横坐标的最小单位
						int				threshold,			//votes的阈值
						double			minLineLength = 0,	//直线识别的最短长度
						double			maxLineGap = 0)		//同一直线上的最大间隔

实例

对示例图片："..\opencv\sources\samples\data\sudoku.png"进行直线检测：

1. 导入图片后灰度化（可选），然后进行边缘检测；
2. 接着进行标准霍夫直线变换，并将直线检测结果绘制在边缘检测后的图上；
3. 最后进行概率霍夫直线变换，并同样将结果绘制在边缘检测后的图上。

具体实现件代码及注释：

#include <opencv2/imgproc.hpp>
#include <opencv2/imgcodecs.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>

using namespace cv;
using namespace std;

int main() {
	Mat src{ imread("sudoku.png") };

	//Canny边缘检测
	Mat gray;
	cvtColor(src, gray, COLOR_BGR2GRAY);
	Mat canny;
	Canny(gray, canny, 50, 200, 3);

	//霍夫变换
	vector<Vec2f> lines;
	HoughLines(canny,	//输入图
		lines,			//线条结果
		1,				//rho = 1
		CV_PI / 180,	//theta = 1弧度制
		150,			//votes阈值
		0,				//srn默认为0
		0);				//stn默认为0

	Mat dst, dstP;
	cvtColor(canny, dst, COLOR_GRAY2BGR);	//转变回BGR图片
	dstP = dst.clone();

	//显示检测到的线条为红色
	for (size_t i{ 0 }; i < lines.size(); i++) {
		float rho{ lines[i][0] }, theta{ lines[i][1] };		//分别获取rho和theta值
		Point pt1, pt2;
		double a{ cos(theta) }, b{ sin(theta) };
		double x0 = a * rho, y0 = b * rho;					//通过rho和theta计算极坐标向量的端点
		//计算直线上两点的坐标
		pt1.x = cvRound(x0 + 1000 * (-b));					
		pt1.y = cvRound(y0 + 1000 * (a));
		pt2.x = cvRound(x0 - 1000 * (-b));
		pt2.y = cvRound(y0 - 1000 * (a));
		line(dst, pt1, pt2, Scalar(0, 0, 255), 3, LINE_AA);
	}

	//概率霍夫变换
	vector<Vec4i> linesP;
	HoughLinesP(canny,	//输入图
		linesP,			//线条结果
		1,				//rho = 1
		CV_PI / 180,	//theta = 1弧度制	
		50,				//votes阈值
		50,				//直线最短长度
		10);			//直线最大间隔
	//显示结果线条
	for (size_t i{ 0 }; i < linesP.size(); i++) {
		Vec4i l{ linesP[i] };
		line(dstP, Point(l[0], l[1]), Point(l[2], l[3]), Scalar(0, 0, 255), 3, LINE_AA);
	}

	imshow("原图", src);
	imshow("标准霍夫变换", dst);
	imshow("概率霍夫变换", dstP);
	waitKey(0);
}

运行结果：

中间是标准霍夫变换，右边是概率霍夫变换。
可以看到因为标准霍夫变换需要我们自己来确定直线的端点，所以一般只能将整条直线都连起来；但是概率霍夫变换能够根据图片中的信息确定直线的起点和终点。