前言
行列式det(A) 其实表示的只是一个值 ∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad -bc acbd =ad−bc，其基本变化是基于这个值是不变。而矩阵表示的是一个数表。
定义
矩阵与线性变换的关系
即得
(
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
21
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
.
.
.
a
m
n
)
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
=
(
y
1
y
2
.
.
.
y
n
)
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\...\\y_n\end{pmatrix}
a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n....amn
x1x2...xn
=
y1y2...yn
可以推矩阵乘法
即得中的
y
1
=
c
11
=
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
m
y_1=c_{11}=a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_m
y1=c11=a11x1+a12x2+...+a1nxm
同理可得矩阵加法
增广矩阵
(
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
y
1
a
21
a
22
.
.
.
a
2
n
y
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
.
.
.
a
m
n
y
n
)
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
−
1
)
=
0
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n} & y_1\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}& y_2\\ ... & ... & ...& .... & ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn} & y_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\\-1\end{pmatrix} = 0
a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n....amny1y2....yn
x1x2...xn−1
=0
特殊的矩阵
矩阵的初等变换
行和列的关系
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
(
a
11
a
21
.
.
.
a
m
1
a
12
a
22
.
.
.
a
m
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1
n
a
2
n
.
.
.
a
m
n
)
=
(
y
1
y
2
.
.
y
n
)
\begin{pmatrix} x_1&x_2&...&x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1&y_2&..&y_n\end{pmatrix}
(x1x2...xn)
a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2....amn
=(y1y2..yn)
初等变换与矩阵乘法的关系
E
m
(
i
,
j
)
=
(
1
0
.
.
.
0
0
0
1
i
行
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
j
行
0
0
0
.
.
.
0
1
)
m
的
i
行与
j
行对调
(
1
0
.
.
.
0
0
0
0
.
.
.
1
i
行
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
j
行
.
.
.
0
0
0
0
.
.
.
0
1
)
m
E_m(i,j)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行与j行对调 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ...& 1_{i行}& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 1_{j行} & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m
Em(i,j)=
10...0001i行...00...............00....1j行000....01
m的i行与j行对调
10...0000...1j行0...............01i行....0000....01
m
E
m
(
i
(
k
)
)
=
(
1
0
.
.
.
0
0
0
1
i
行
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
)
m
的
i
行乘于常数
k
(
1
0
.
.
.
0
0
0
k
i
行
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
)
m
E_m(i(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行乘于常数k \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & k_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m
Em(i(k))=
10...0001i行...00...............00....1000....01
m的i行乘于常数k
10...000ki行...00...............00....1000....01
m
E
m
(
i
j
(
k
)
)
=
(
1
0
.
.
.
0
0
0
1
i
行
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
j
行
0
0
0
.
.
.
0
1
)
m
i
行的
k
倍加到
j
上
(
1
0
.
.
.
0
0
0
1
i
行
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
k
j
行
.
.
.
1
j
行
0
0
0
.
.
.
0
1
)
m
E_m(ij(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m i行的k倍加到j上 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & k_{j行} & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m
Em(ij(k))=
10...0001i行...00...............00....1j行000....01
mi行的k倍加到j上
10...0001i行...kj行0...............00....1j行000....01
m
矩阵的运算
矩阵乘法运算规律
矩阵的转置
A
n
∗
m
(
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
21
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
.
.
.
a
m
n
)
转置为
A
n
∗
m
T
(
a
11
a
21
.
.
.
a
m
1
a
12
a
22
.
.
.
a
m
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1
n
a
2
n
.
.
.
a
m
n
)
A_{n*m} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} 转置为 A_{n*m}^T \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix}
An∗m
a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n....amn
转置为An∗mT
a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2....amn
反对称矩阵
方阵的行列式
伴随矩阵
根据行列式和矩阵乘法的公式刚好得出
A
A
∗
=
∣
A
∣
E
AA^*=|A|E
AA∗=∣A∣E
可逆矩阵(或称非奇异矩阵)
结合伴随矩阵的公式
- 根据 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA∗=∣A∣E
- 结合行列式公式 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣
- 得出 ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ |A||A*|=|A| ∣A∣∣A∗∣=∣A∣
- 得出 ∣ A ∗ ∣ = 1 |A^*|=1 ∣A∗∣=1
- 所以 ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ |A^{-1}|=\cfrac{1}{|A|} ∣A−1∣=∣A∣1
共轭矩阵
- a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
- 共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数，即 a-bi
举例：
分块矩阵
分块矩阵的其它性质
克拉默法则证明
- 把方程组写成矩阵方程 Ax = b， 这里 A = ( a i j ) n ∗ n A=(a_{ij})_{n*n} A=(aij)n∗n为 n 阶矩阵
- 因 |A| ≠ 0，故 A − 1 A^{-1} A−1存在。令 x = A − 1 b ⇒ A x = A A − 1 b x=A^{-1}b \Rightarrow Ax=AA^{-1}b x=A−1b⇒Ax=AA−1b，表明 x = A − 1 b x=A^{-1}b x=A−1b是方程组的解向量。
- 由于逆矩阵公式 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗,有 x = 1 ∣ A ∣ A ∗ b x=\cfrac{1}{|A|}A^*b x=∣A∣1A∗b
- x j = 1 ∣ A ∣ ( b 1 A 1 j + b 2 A 2 j + . . . + b n A n j ) x_j=\cfrac{1}{|A|}(b_1A_{1j} + b_2A_{2j}+...+b_nA_{nj}) xj=∣A∣1(b1A1j+b2A2j+...+bnAnj)
- x j = 1 ∣ A ∣ ∣ A j ∣ ( j = 1 , 2 , 3 , . . . n ) x_j=\cfrac{1}{|A|}|A_j| (j=1,2,3,...n) xj=∣A∣1∣Aj∣(j=1,2,3,...n)
分块矩阵乘法证明
我们通过验证分块矩阵乘法得到的元素与通用乘法得到元素是否一致，来证明分块乘法的可靠性，以
c
32
c_{32}
c32为例：
c
32
=
(
a
31
a
32
a
33
)
(
b
12
b
22
b
32
)
c_{32}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \\b_{32} \end{pmatrix}
c32=(a31a32a33)
b12b22b32
与他对应是
C
11
=
A
11
B
11
+
A
12
B
21
C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}
C11=A11B11+A12B21中的
c
32
c_{32}
c32
c
32
=
(
a
31
a
32
)
(
b
12
b
22
)
+
(
a
33
)
(
b
32
)
c_{32}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{32} \end{pmatrix}
c32=(a31a32)(b12b22)+(a33)(b32)
主要参考
《矩阵的转置》
《克拉默法则》
《共轭矩阵》
《分块矩阵的初等变换（3）行列式不变吗?》
《矩阵分块乘法的原理是怎么样的？》
