二叉排序、搜索树：BST

(一) 定义 & 特点

(二) 二叉查找数的查找

(三) 二叉查找数的遍历

(四)二叉查找树的插入与创建

(五)二叉查找树的删除

(六)支持重复数据的二叉查找树

(七)二叉查找树的复杂度

(八)二叉查找树和Hash表对比

(九)二叉查找树的其他操作

(十) 平衡二叉树AVL

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（一）二叉查找树的概念以及类型定义，特点：

（1）定义 
二叉查找树为空树，或者满足以下条件：
1.左子树非空，则左子树上所有记录均小于根节点的记录；
2.右子树非空，则右子树上所有记录均大于根节点的记录；
3.左右子树又是一棵二叉查找树。

（2）类型定义：
typedef struct node{
    DataType data;
    node* lchild, * rchild;
}BSTNode;

（3）特点：
中序遍历二叉查找树，得到一个递增的有序序列；

（二）二叉查找树的查找
（1）递归：

BSTNode* bstSearch(BSTNode* root, DataType k){
      if(root==NULL) 
           return NULL;
      if(root->data==k) 
           return root;
      else if(k<root->data) //在左子树中查找
          return bstSearch(root->lchild,k);
      else if(k>root->data)//在右子树中查找
          return bstSearch(root->rchild,k);
 }
 （2）非递归：/*
 在以root为根节点的二叉排序树中查值为x的节点，father保存的是所查节的父节点；
 father为引用型参数
 */BSTNode* bstSearch(BSTNode* root ,DataType x, BSTNode* & father)
 {
     BSTNode* pnode=root;
     father=NULL;    while(pnode!=NULL && x!=pnode->data){
         father=pnode;
         if(x<pnode->data)
             pnode=pnode->lchild;
         else 
             pnode=pnode->rchild;
     }//没有找到,循环结束则pnode==NULL，father为值很接近data的叶子节点；
     return pnode;
 }

（三）二叉查找树的遍历：
略
（四）二叉查找树的插入与创建：

（1）插入：
注意：新节点都是作为叶子节点插入的，所以树是向下生长的。

/*
     目的：在以root为根节点的二叉排序树中插入一个值为x的节点，插入成功返回1，否则0；
     注意：root为引用型参数；
     思想：若原二叉查找树为空，则直接插入节点作为根节点；
     若x小于根节点的data，则插在左子树中，否则右子树中。
 */
 int bstInsert(BSTNode* & root, DataType x){
      if(NULL==root) {
           root=(BSTNode* )malloc(sizeof(BSTNode));
           root->data=x;
           root->lchild=root->lchild=NULL;
           return 1;
      }
      else if(root->data == x) {//如果二叉查找树中已经存在值为x的节点，则失败。
           return 0;
      }     else if(x<root->data) {//插入到左子树中。
           return bstInsert(root->lchild,x);
      }
      else 
           bstInsert(root->rchild,x);
 }

或者：非递归方法：

int bstInsert(BSTNode* & root,DataType x){
      BSTNode* pnode,*newNode,*father;
      pnode=bstSearch(root,x,father);
      //调用上面的非递归的查找
      //如果找到则pnode非空，没有找到则pnode为空，father为值很接近x的叶子节点。     if(pnode!=NULL )//已经存在值为x的节点
         return 0；     newNode=(BSTNode* )malloc(sizeof(BSTNode));
      newNode->data=x;
      newNode->lchild=newNode->rchild=NULL;     if(NULL==father) //如果原二叉查找树为空
         root=newNode;     else if(x<father->data)
         father->lchild=newNode;
      else  
         father->rchild=newNode;
      return 1;
 }

（2）二叉查找树的构造：

void createBST(BSTNode* & root ,DataType[] dataArray, int length)
{
     root=NULL;
     for(int i=0;i<length;i++)
         bstInsert(root,dataArray[i]);
 }

（五）二叉查找树的删除：

二叉查找树中删除一个节点，不能把以该节点为根的子树都删除，删除二叉查找树的一个节点就相当于删除有序序列中的一个元素。

设：被删除的节点为pnode,father为其父节点，分为四种情况：
（1）pnode为叶子节点：
直接删除pnode.
（2）pnode为左单分支节点：
pnode只有左子树，而没有右子树。
将pnode的左子树直接代替pnode。
（3）pnode为右单分支节点：
将pnode的右子树直接代替pnode。
（4）pnode为双分支节点：
1）方法一：
将pnode的左子树的最右节点与pnode交换，（pnode的左子树的最右节点没有右孩子），采用情况2删除左子树的最右节点。
2）方法二：
将pnode的右子树的最左节点与pnode交换，（pnode的右子树的最左节点没有左孩子），采用情况3删除右子树的最左节点。
代码实现：

/*
 目的：在以root为根节点的二叉查找树中删除值为x的节点，成功则返回1，否则返回0；
 注意：root为引用型参数，因为root也可能被删除。
 */int bstDelete(BSTNode* &root , DataType x ){
      BSTNode* father,*node_x;     node_x=bstSearch(root,x,father);   //调用上面的非递归的search
      if(node_x==NULL)
         return 0;//没有该节点。     BSTNode* temp_nodeX=node_x;    //保存node_x的值；
      if(NULL==node_x->rchild)   //右孩子为空，为左单分支节点
      {
         node_x=node_x->lchild;
      }     else if(NULL==node_x->lchild)  //左孩子为空，为右单分支节点
      {
          node_x=node_x->rchild;
          delete temp_nodeX;
          return 1;
      }     else { //node_x为双分支节点
           BSTNode* pnode=node_x->lchild;
           father=node_x;
           //寻找node_x的左子树的最右节点，father为其父节点；
           while(pnode->rchild!=NULL)
           {
               father=pnode;
               pnode=pnode->rchild;
           }          node_x->data=pnode->data;//将node_x的左子树的最右节点的值保存在node_x中
           //删除node_x的左子树的最右节点
           if(father==node_x)
               father->lchild=pnode->lchild;
           else
               father->rchild=pnode->lchild;          delete pnode;
           return 1;
      }}
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 (六) 支持重复数据的二叉查找树

前面讲二叉查找树的时候，我们默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的是一个包含很多字段的对象。我们利用对象的某个字段作为键值（key）来构建二叉查找树。

前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？这里有两种解决方法。

重复数据的二叉查找数的处理方法：

(6.1)二叉查找树的每个节点为数组或者链表：

二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据存储在同一个节点上。

(6.2)树中存在和要插入数据key相同的数据时，将这个要插入的数据放到这个节点的右子树中；

所以：当要查找、删除数据时，遇到值相同的节点，并不能停止查找，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点。

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（七）二叉查找树的复杂度

最糟糕的情况,  当二叉查找树根节点的左右子树极度不平衡时，就退化成了链表，所以查找时间复杂度就变成了 O(n)。

最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树，这个时候插入、删除、查找的时间复杂度是 O(height)，差不多O(lgn)。

显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树，这就是我们下一节课要详细讲的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。

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（八）二叉查找树和Hash表对比

散列表那节中讲过，散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的 O(1)，非常高效。

而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是 O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？我认为有下面几个原因：

(1)数据有序性

散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。

(2)性能稳定性

散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。

所以：

散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。

综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

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（九）二叉查找树的其他操作

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（十）二叉平衡树：AVL
（1）定义：
高度平衡的二叉查找树为AVL树，即左右子树高度差的绝对值小于等于1的二叉查找树。
（2）节点的平衡因子：bf
节点 的平衡因子为该节点的左子树的高度减去右子树的高度，所以AVL树的所有节点的平衡因子为-1,0，或1.
（3）AVL树的节点的类型定义：

typedef struct AVLNode{
      DataType data;
      AVLNode*　lchild, *rchild;
      int bf;//平衡因子
 }

（4）完全二叉树是高度平衡的，但是它不一定满足二叉查找树的定义。