深度学习笔记之Transformer——Position Embedding铺垫：Word2vec

• 引言
• • 回顾：关于词特征表示的$\text{One-hot}$编码
  • 目标函数构建
  • • 关于语料库与任务目标
    • 似然函数构建
  • $\text{Word2vec}$模型结构
  • 重点总结

引言

在Transformer(三)自注意力机制一节中介绍了位置编码$(\text{Position Embedding})$，本系列针对位置编码再回首，从公式角度重新认识位置编码。本节作为铺垫，介绍一下词向量模型——$\text{Word2vec}$。

回顾：关于词特征表示的$\text{One-hot}$编码

在循环神经网络简单示例中，我们简单介绍了基于$\text{One-hot}$向量的文本表征。

• 关于某种语言的词汇表$\mathcal{V}$内包含$|\mathcal{V}|$个具体词语：
  V = { ω 1 , ω 2 , ⋯   , ω ∣ V ∣ } \mathcal V = \{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_{|\mathcal V|}\} V={ω1​,ω2​,⋯,ω∣V∣​}
  而$\text{One-hot}$编码将$|\mathcal{V}|$均使用长度为$|\mathcal{V}|$的向量进行文本表征。并满足：
  其中$j$表示词语在$\mathcal{V}$中的下标;${\omega }_j^{(i)}$则是某词语${\omega }_j$的特征表示过程中，第$i$个特征分量的结果。
  { ∑ j = 1 ∣ V ∣ ω j ( i ) = 1 ω j ( i ) ∈ { 0 , 1 } \begin{cases} \begin{aligned} & \sum_{j=1}^{|\mathcal V|} \omega_j^{(i)} = 1 \\ & \omega_j^{(i)} \in \{0,1\} \end{aligned} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​​j=1∑∣V∣​ωj(i)​=1ωj(i)​∈{0,1}​​
• 这种词向量的表示方法优点在于：每一个$\text{One-hot}$编码必然与$\mathcal{V}$中的某个词之间存在恒等映射关系，并且将文本信息转换为$\text{One-hot}$编码过程中，不存在特征信息丢失的情况。
• 相应地，该编码方式的缺陷也很明显：首先，每个$\text{One-hot}$编码仅有$1$位存在有效信息，其余位均为$0$(稀疏编码)；其次，无法表达词语之间的相关性信息。因为各向量之间内积结果必然是$0$，从而使得它们之间线性无关。
  但这种表达明显违背了语言自身的‘性质’。在对应的语境下，某些词之间存在关联关系。

目标函数构建

关于语料库与任务目标

我们已知的训练信息就是语料库$(\text{Corpus})$。这个语料库没有标签，只有一段一段地文本。我们将这些文本整合在一起，表示成一个长度为$\mathcal{T}$的超长序列：
其中这里的$w_t(t=1,2,\cdots ,\mathcal{T})$表示基于词的随机变量。
D = { w 1 , w 2 , ⋯   , w t − 1 , w t , w t + 1 , ⋯   , w T } \mathcal D = \{w_1,w_2,\cdots,w_{t-1},w_t,w_{t+1},\cdots,w_{\mathcal T}\} D={w1​,w2​,⋯,wt−1​,wt​,wt+1​,⋯,wT​}

而目标是求解基于语料库$\mathcal{D}$内产生的词汇表$\mathcal{V}$中每个词的分布式向量$(\text{Distributed Vector})$表示。而这个向量需要满足如下要求：

• 能够在有限维数条件下尽量完整地描述某个词的语义信息；
• 向量能够表达出词与词之间的相似度关系。

从语言自身的角度观察，两个词语之间存在相似度关系的依据是：描述各词语对应的上下文$(\text{Context})$进行对比，如果对应上下文之间存在相似性，我们推断这两个词之间存在相似性关系。相反，如果已知两个词语之间存在相似性，那么它们所在文本序列的上下文之间同样存在相似性关系。

似然函数构建

如何使用概率分布描述上下文信息$?$关于语料库$\mathcal{D}$的联合概率分布表示如下：
$$\mathcal{P}(w_{1:\mathcal{T}})=\mathcal{P}(w_1,w_2,\cdots ,w_{\mathcal{T}})$$

• 如果我们在上下文未知的条件下，想要知道这个长为$\mathcal{T}$的序列中，第 t ( t ∈ { 1 , 2 , ⋯   , T } ) t(t \in \{1,2,\cdots,\mathcal T\}) t(t∈{1,2,⋯,T})个位置的随机变量$w_t$选择某个具体词的概率$\mathcal{P}(w_t)$。由于没有任何额外信息，这等价于：从词汇表$\mathcal{V}$中均匀采样出一个样本，而该采样概率是我们想要的具体词的概率，即$\begin{array}{r}\mathcal{P}(w_t)=\frac{1}{|\mathcal{V}|}\end{array}$。
  在该条件下,$\mathcal{P}(w_t)$的结果是恒定不变的$(\text{Constant})$。

• 在$\mathcal{P}(w_t)$已知的条件下，联合概率分布$\mathcal{P}(w_{1:\mathcal{T}})$可表示为：
  其中这里的$\text{Context}(w_t)$没有进行约束，即表示$w_t$的上下文。即$w_1,\cdots ,w_{t-1},w_{t+1},\cdots ,w_{\mathcal{T}}$。
  $$\mathcal{P}(w_{1:\mathcal{T}})=\mathcal{P}(w_t)\cdot \mathcal{P}[\text{Context}(w_t)\mid w_t]$$

• 如果不对$\text{Context}(w_t)$范围进行约束，那么它的计算量是非常复杂的。为了简化运算，我们引入假设$(1)$：给$\text{Context}$范围设置成有限的窗口大小。我们假设窗口大小为$2\mathcal{C}$。也就是说：我们仅考虑$w_t$之前与之后的$\mathcal{C}$个随机变量对$w_t$产生的影响。因而上述公式可改写成如下形式：
  很明显，这只是一个‘近似相等’，因假设$(1)$的约束将原始的联合概率分布$\mathcal{P}(w_{1:\mathcal{T}})$限制成了$\mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t+\mathcal{C}})$。
  $$\mathcal{P}(w_{1:\mathcal{T}})\stackrel{(1)}{=}\mathcal{P}(w_t)\cdot \mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)$$

• 由于$\mathcal{P}(w_t)$是一个定值，因而我们关注的对象在条件概率分布$\mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)$上面。最终关于$w_t$的条件似然$(\text{Conditional Likelihood})$表示如下：
  由于$\mathcal{P}(w_t)$是定值，不会发生变化;因而$\mathcal{P}(w_t)$的‘似然’不在考虑范围内。
  $$\mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)$$
  由于$w_t$是我们任意指定位置的随机变量，从而得到一个关于$w_t$的条件似然；实际上，我们可以取到$w_1,w_2,\cdots ,w_{\mathcal{T}}$内的任意一个位置，每一个位置均对应一个条件似然：
  共存在$\mathcal{T}$个条件似然。
  $$\mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)t=1,2,\cdots \mathcal{T}$$
  引入假设$(2)$:如果给定对应 w t ( t ∈ { 1 , 2 , ⋯   , T } ) w_t(t \in\{1,2,\cdots,\mathcal T\}) wt​(t∈{1,2,⋯,T})的条件下，任意两个条件似然分布之间相互独立，那么完整的条件似然可以表示为上述$\mathcal{T}$个条件似然的乘积结果：
  $$\prod _{t=1}^{\mathcal{T}}\mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)$$
  为了简化上述的连乘形式，在此基础上，增加均值和$\text{log}$函数，得到均值化的条件对数似然$(\text{Average Conditional Log Likelihood})$：
  均值和$\log$函数并不影响‘完整条件似然’的单调性。
  $$\frac{1}{\mathcal{T}}\sum _{t=1}^{\mathcal{T}}\log \mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)$$

• 继续观察$\mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)$，它可看作是$w_t$条件下，窗口内$2\mathcal{C}-1$个词的联合概率分布，继续对其进行分解。引入假设$(3)$：在给定$w_t$的条件下，$w_{t-\mathcal{C}},\cdots ,w_{t-1},w_{t+1},\cdots ,w_{t+\mathcal{C}}$之间独立同分布。基于该假设：可以将$\mathcal{P}(w_{t-\mathcal{C}\text{ : }t-1},w_{t+1\text{ : }t+\mathcal{C}}\mid w_t)$分解成更细致地连乘形式：
  该部分需要注意：这里说的是$w_{t-\mathcal{C}}\mid w_t,\cdots ,w_{t-1}\mid w_t,w_{t+1}\mid w_t,\cdots ,w_{t+\mathcal{C}}\mid w_t$它们之间独立同分布，而不仅仅是$w_{t-\mathcal{C}},\cdots ,w_{t-1},w_{t+1},\cdots ,w_{t+\mathcal{C}}$独立同分布。如果是第二种情况，下面公式不成立。
  $$\begin{array}{rl}\mathcal{I}& =\frac{1}{\mathcal{T}}\sum _{t=1}^{\mathcal{T}}\log \prod _{i\in [-\mathcal{C},\mathcal{C}];i\ne 0}\mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)\\ & =\frac{1}{\mathcal{T}}\sum _{t=1}^{\mathcal{T}}\sum _{i=-\mathcal{C}(\ne 0)}^{\mathcal{C}}\log \mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)\end{array}$$

至此，通过$3$个假设，将完整似然$\begin{array}{r}\prod _{t=1}^{\mathcal{T}}\mathcal{P}[\text{Context}(w_t)\mid w_t]\end{array}$简化并分解成了上述形式。基于上述的分解结果，仅需要对$\mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$进行建模，就可将该似然求解出来。而$\mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$的物理意义是：给定一个中心词$w_t$，基于该词所在窗口内的某个词$w_{t+i}(i\le \mathcal{C})$的后验概率。
重点：由于假设窗口内的其他词$w_{t-\mathcal{C}},\cdots ,w_{t-1},w_{t+1},\cdots ,w_{t+\mathcal{C}}$在给定$w_t$情况下是‘独立同分布’的，因此这些词之间已经失去了顺序关系。

从极大似然估计的角度也能看出来，它将整个似然函数$\begin{array}{r}\prod _{t=1}^{\mathcal{T}}\mathcal{P}[\text{Context}(w_t)\mid w_t]\end{array}$分解成若干个$\log \mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$并各自独立地求解最大值。因此基于这种策略求解的$\text{Vector}$结果并不包含序列信息。

最终，将极大似然估计转换成常见的优化问题：
其中$\theta$表示模型参数，并转换成最小化问题。
$$\mathcal{J}(\theta )=-\frac{1}{\mathcal{T}}\sum _{t=1}^{\mathcal{T}}\sum _{i=-\mathcal{C}(\ne 0)}^{\mathcal{C}}\log \mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$$

$\text{Word2vec}$模型结构

基于上述描述，我们将对$\mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$进行建模。由于$\mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$内已经不包含窗口内词语的序列信息，因此将$\mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$简化成如下形式：
其中$w_i$表示输入的词语信息;$w_o$表示基于$w_i$的，模型输出的词语分布。
$$\mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)=\mathcal{P}(w_o\mid w_i)$$
假设我们的$w_i$取的是词汇表中的第$k$个词语${\omega }_k$，对应的输入就是${\omega }_k$的$\text{One-hot}$编码：
当然,$\text{One-hot}$编码自身就是一个很‘极端’的离散型分布。
$$w_i={\omega }_k=(0,0,\cdots ,\underset{位置k}{1},0,\cdots ,0{)}^T$$
关于$w_o$可能取值的后验结果见下表：

既然是概率值，自然满足：
$$\sum _{j=1}^{|\mathcal{V}|}{p}_j=1\{\begin{array}{l}{p}_j=\mathcal{P}(w_o={\omega }_j\mid w_i={\omega }_k)\\ p_j\in (0,1]\end{array}$$
对于这样一个离散的后验分布，通常会想到多分类任务。因而可以使用$\text{Softmax}$函数对各离散概率进行表示：
公式中的$x_j$表示模型学习特征信息中的第$j$个分量,也就是下面所说的隐藏层的第$j$个输出;对应的$\text{Softmax}$结果就是关于概率$p_j$的预测结果。
$$\begin{array}{rl}{p}_j& =\mathcal{P}(w_o={\omega }_j\mid w_i={\omega }_k)\\ & =\text{Softmax}(x_j)\end{array}$$
由于$\mathcal{P}(w_o={\omega }_j\mid w_i={\omega }_i)$本质上依然是一个以$w_o$作为输入，输出是各词对应概率分布的复杂函数，因此可以利用神经网络的通用逼近定理进行描述：

• 其中模型的输入就是$w_i={\omega }_k$对应的$\text{One-hot}$编码，长度为$|\mathcal{V}|$;并且第$k$个位置的元素是$1$;对应输出是随机变量$w_o$对应各词的概率分布结果，长度同样是$|\mathcal{V}|$。
• 其中$\text{Softmax}$的函数表示式为$\begin{array}{r}\text{Softmax}(x_i)=\frac{\exp (x_i)}{{\sum }_{j=1}^{|\mathcal{V}|}\exp (x_j)}\end{array}$,其中 x i ( i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , ∣ V ∣ } ) x_i(i\in\{1,2,\cdots,|\mathcal V|\}) xi​(i∈{1,2,⋯,∣V∣})表示隐藏层的输出结果。该函数的输出结果保证了$\begin{array}{r}\sum _{j=1}^{|\mathcal{V}|}{p}_j=1;p_j\in (0,1]\end{array}$的条件约束。
  

关于$\text{Word2vec}$模型，它的隐藏层并没有设置激活函数，或者说它的激活函数就是一个恒等映射。其目的依然是为了计算过程简便。如果加入了激活函数，由于输入和输出都是$|\mathcal{V}|$个神经元，对应隐藏层的计算量是非常恐怖的。因而只有在输出层保留一个$\text{Softmax}$激活函数，其余层均只有线性计算操作。

由于隐藏层部分没有激活函数，仅包含线性运算操作，因而可以将其视作矩阵之间的乘法运算.下面剖析该神经网络隐藏层的执行过程：

• 关于输入${\omega }_i\in {\mathbb{R}}^{|\mathcal{V}|\times 1}$对应隐藏层的权重信息使用矩阵进行表示。分别记作$\mathcal{W}\in {\mathbb{R}}^{|\mathcal{V}|\times d},\mathcal{U}\in {\mathbb{R}}^{d\times |\mathcal{V}|}$：
• 基于上述定义，输入层 $\Rightarrow$ 隐藏层，隐藏层 $\Rightarrow$ 输出层的矩阵乘法操作分别表示为：
  $$\{\begin{array}{l}[{\omega }_i{]}_{1\times |\mathcal{V}|}^T\cdot {\mathcal{W}}_{|\mathcal{V}|\times d}\in {\mathbb{R}}^{1\times d}\\ {\left\{[{\omega }_i{]}^T\cdot \mathcal{W}\right\}}_{1\times d}\cdot {\mathcal{U}}_{d\times |\mathcal{V}|}\in {\mathbb{R}}^{1\times |\mathcal{V}|}\end{array}$$

观察第一次矩阵乘法操作，由于${\omega }_i$是一个$\text{One-hot}$编码向量(第$i$分量为$1$)，那么$[{\omega }_i{]}^T\cdot \mathcal{W}$操作就是将$\mathcal{W}$内的第$i$行元素$\in {\mathbb{R}}^{1\times d}$取出而已。记$\mathcal{W}$为如下形式：
其中$w_1,w_2,\cdots ,w_{|\mathcal{V}|}$表示$\mathcal{W}$每行元素组成的列向量。
W = [ ( w 1 ) T ( w 2 ) T ⋮ ( w ∣ V ∣ ) T ] \mathcal W = \begin{bmatrix} (w_1)^T \\ (w_2)^T \\ \vdots \\ (w_{|\mathcal V|})^T \end{bmatrix} W= ​(w1​)T(w2​)T⋮(w∣V∣​)T​ ​
同理，对应$\mathcal{U}$表示为如下形式：
其中$u_1,u_2,\cdots ,u_{|\mathcal{V}|}$表示$\mathcal{U}$每一列的列向量。
$$\mathcal{U}=(u_1,u_2,\cdots ,u_j\cdots ,u_{|\mathcal{V}|})$$

至此，上面的矩阵乘法操作可以描述成如下形式：
$$\{\begin{array}{l}[{\omega }_i{]}^T\cdot \mathcal{W}=(w_i{)}^T\\ \begin{array}{rl}(w_i{)}^T\cdot \mathcal{U}& \Rightarrow (w_i{)}^T\cdot (u_1,u_2,\cdots ,u_{|\mathcal{V}|})\\ & =\left[(w_i{)}^T{u}_1,(w_i{)}^T{u}_2,\cdots ,(w_i{)}^T{u}_{|\mathcal{V}|}\right]\end{array}\end{array}$$
因而关于输出层(执行$\text{Softmax}$前一层)中第 j ( j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , ∣ V ∣ } ) j(j \in \{1,2,\cdots,|\mathcal V|\}) j(j∈{1,2,⋯,∣V∣})个神经元的输出$x_j$可直接表示为如下形式：
它就是一个标量。
$$x_j=(w_i{)}^T{u}_j$$
最终经过$\text{Softmax}$函数，求出第$j$个位置的概率分布$p_j$。 同理，通过这种操作可以求解其他概率分布$p_1,p_2,\cdots ,p_{|\mathcal{V}|}$。
而最后的优化函数中的参数$\theta$指的就是$\text{Word2vec}$中的权重信息$\mathcal{W},\mathcal{U}$。

重点总结

本质上$\text{Word2vec}$本身是一个特殊的神经网络，因为这个网络中没有激活函数。并且该模型遵循的优化策略是负均值化的对数似然：
$$\mathcal{J}(\theta )=-\frac{1}{\mathcal{T}}\sum _{t=1}^{\mathcal{T}}\sum _{i=-\mathcal{C}(\ne 0)}^{\mathcal{C}}\log \mathcal{P}(w_{t+i}\mid w_t)$$
该似然函数中的$3$个假设使得该优化过程中丢失了序列信息。它的底层逻辑就是描述输出词与输入词之间的相似性关系。

相关参考：
词向量(Word Vector)【白板推导系列】