hdu 1204 糖果大战(概率问题 markov 过程)

题目：​​http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1204​​

糖果大战

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Problem Description

生日Party结束的那天晚上，剩下了一些糖果，Gandon想把所有的都统统拿走，Speakless于是说：“可以是可以，不过我们来玩24点，你不是已经拿到了一些糖果了吗？这样，如果谁赢一局，就拿走对方一颗糖，直到拿完对方所有的糖为止。”如果谁能算出来而对方算不出来，谁就赢，但是如果双方都能算出或者都不能，就算平局，不会有任何糖果的得失。
Speakless是个喜欢提前想问题的人，既然他发起了这场糖果大战，就自然很想赢啦（不然可就要精光了-_-）。现在他需要你的帮忙，给你他每局赢的概率和Gardon每局赢的概率，请你给出他可能获得这场大战胜利的概率。

Input

每行有四个数，Speakless手上的糖果数N、Gardon手上的糖果数M(0<=N,M<=50)、一局Speakless能解答出来的概率p、一个问题Gardon能解答出来的概率q(0<=p,q<=1)。

Output

每行一个数，表示Speakless能赢的概率（用百分比计算，保留到小数点后2位）。

Sample Input

50 50 0.5 0.5
10 10 0.51 0.5
50 50 0.51 0.5

Sample Output

0.50
0.60
0.88

Author

Speakless

分析：

这个问题涉及到另一个有趣的问题：赌徒输光问题：赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q=1-p，求甲先输光的概率。

赌徒问题分析：实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1，2，…，c}，c = a + b，现在的问题是求质点从a出发到达0状态先于到达c状态的概率。

最终的推导结果：

本问题和赌徒输光问题类似，其中甲获胜的概率p=f1(1-f2)，乙获胜的概率q=f2(1-f1)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    int a,b,c;
    double p,q,f1,f2,ans;
    while(~scanf("%d%d%lf%lf",&a,&b,&f1,&f2)){
         c=a+b;
         p=f1*(1-f2);
         q=f2*(1-f1);
         if(b==0)  ans=1;
         else if(a==0||p==0||q==1) ans=0;
         else {
              if(fabs(p-q)>1e-6) ans=(1-pow(q/p,a))/(1-pow(q/p,c));
              else ans=a*1.0/c;
         }
         printf("%.2lf\n",ans);
    }
    return 0;
}