【算法基础课】一、基础算法（上）｜快速排序、归并排序、二分

文章目录

• 【算法基础课】一、基础算法（上）｜快速排序、归并排序、二分
• • 一、基础算法（上）
  • • 1.1 快速排序
    • • 步骤
      • 模板
      • 例题
    • 1.2 归并排序
    • • 步骤
      • 模板
      • 例题
    • 1.3 - 1 二分（整数）
    • • 步骤
      • 模板
      • 例题
    • 1.3 - 2 二分（浮点数）
    • • 步骤
      • 模板
      • 例题

一、基础算法（上）

1.1 快速排序

步骤

1. 确定分界点：x = q[l] / x = q[(l + r) / 2] / x = q[r] / 随机
2. 调整范围 :
   
3. 递归处理左右两端

模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j)
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);
        do j -- ; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

例题

785. 快速排序
给定你一个长度为 n 的整数数列。

请你使用快速排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式
输入共两行，第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在 $1\sim 10^9$ 范围内），表示整个数列。

输出格式
输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。

数据范围
$1\le n\le 100000$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    
    int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;
    
    while (i < j) {
        while (q[++i] < x);
        while (q[--j] > x);
        
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    
    quick_sort(q, l, j);
    quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &q[i]);
    }
    
    quick_sort(q, 0, n - 1);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", q[i]);
    }
    
    return 0;
}

1.2 归并排序

步骤

1. 确立分界点：mid = (l + r) / 2
2. 递归排序 left、right
3. 归并——合二为一 【O(n)的复杂度】
   

模板

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;

    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

例题

787. 归并排序
给定你一个长度为 n 的整数数列。

请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式
输入共两行，第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在 $1\sim 10^9$ 范围内），表示整个数列。

输出格式
输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。

数据范围
$1\le n\le 100000$

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int q[N], tmp[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    
    int mid = (l + r) / 2;
    
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);
    
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i] < q[j]) tmp[k++] = q[i++];
        else tmp[k++] = q[j++];
    }
    while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];
    
    for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) {
        q[i] = tmp[j];
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    merge_sort(q, 0, n - 1);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
    
    return 0;
}

1.3 - 1 二分（整数）

步骤

模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

例题

789. 数的范围
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
$1\le n\le 100000$
$1\le q\le 10000$
$1\le k\le 10000$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    
    while(m--) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        
        if (q[r] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else {
            cout << r << " ";
            
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1>> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            
            cout << r << endl;
        }
    }
    
    return 0;
}

1.3 - 2 二分（浮点数）

步骤

浮点数二分的步骤与整数类似但更为简单，不需要考虑+1或-1。

模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

例题

790. 数的三次方根
给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围
$-10000\le n\le 10000$

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 10010;

double n;

int main() {
    scanf("%lf", &n);
    double l = -10000, r = 10000;
    while (r - l > 1e-8) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid * mid >= n) r = mid;
        else l = mid;
    }
    
    printf("%.6lf", r);
    
    return 0;
}