【线性代数】第一章 1.1矩阵及其运算-CFANZ编程社区

一，矩阵的概念

我们先来看一下书上关于矩阵的标准定义：由m×n个数排成的m行n列数表

称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵，其中 $_{aij}$ 表示第i行第j列处的元（或称元素），i称为 $_{aij}$

的行指标，j称为 $_{aij}$ 的列指标。

举个简单的例子：如果你看到了一个形如这样的东西

系数矩阵：

n元线性方程组

的系数可以组成一个m行n列矩阵

称为方程组的系数矩阵；

增广矩阵：

而系数及常数项可以组成一个m行n+1列矩阵

称为方程组的增广矩阵。

零矩阵：

元全为零的矩阵称为零矩阵，记作 $_{Omn}$ 或 $^{O}$ （注意：m和n之间应该有个“×”，实在打不出来，呜呜呜┭┮﹏┭┮，之后类似的试子也是如此，比如下方的 $_{O22}$ , $_{O23}$ ，此后不再复述）.如

当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方程）。

行矩阵和列矩阵：

只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵

对角矩阵：

若矩阵的元 $_{aij}$ =0(i≠j),则称A为对角矩阵， $_{aii}$ (i=1,2...,n)称为A的对角元，记作A=diag( $_{a11},_{a22},...,_{ann}$ )

例如， $A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0&5 \end{pmatrix}=diag(-1,5)$

为二阶对角矩阵.

单位矩阵：

对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为 $_{In}$ ,在不致混淆时也记为 $_{I}$ ,即

上三角矩阵和下三角矩阵：

形如

的矩阵被称为上三角矩阵和下三角矩阵。

二，矩阵的线性运算

为了讨论矩阵的运算，我们首先给出矩阵相等的概念。

如果A和B都是m×n矩阵，就称A和B为同型矩阵。

两个矩阵A=( $_{aij}$ )和B=( $^{bij}$ )如果是同型矩阵，且对应元相等，即 $_{aij}=_{bij}$ ,就称A和B相等。

现在我们介绍矩阵的加法

定义2（矩阵的加法）设矩阵

$A=\begin{pmatrix} _{a11} &_{a12} &... &_{a1n} \\ _{a21}& _{a22} & ... &_{a2n} \\ ...& ...& ... &... \\ _{am1}& _{am2} &... & _{amn} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} _{b11} &_{b12} & ...&_{b1n} \\ _{b12} & _{b22}& ... & _{b2n}\\ ...& ...&... & ...\\ _{bm1} &_{bm2} &... & _{bmn} \end{pmatrix}$

是两个m×n矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的m×n矩阵

$C=\begin{pmatrix} _{a11}+_{b11} &_{a12}+_{b12} &... & _{a1n}+_{b1n} \\ _{a21}+_{b21} &_{a22}+_{b22} & ... & _{a2n}+_{b2n} \\ ... & ...& ...&... \\ _{am1}+_{bm1} &_{am2}+_{bm2} &... & _{amn}+_{bmn} \end{pmatrix}$

则称矩阵C是矩阵A和B的和，记为C=A+B.

举个栗子🌰：若 $A=\begin{pmatrix} 30 &125 &17 &0 \\ 20 & 0 & 14& 23\\ 0& 20 &20 &30 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 10 & 15 & 13 & 30\\ 0& 40&16 &17 \\ 50 & 10 & 0&10 \end{pmatrix},$

那么 $A+B=\begin{pmatrix} 40& 40& 30& 30\\ 20& 40& 30& 40\\ 50&30 &20 &40 \end{pmatrix}.$

下面介绍矩阵与数的乘积

定义3（矩阵的乘数）设 $A=(_{aij})$ m×n是一个m×n矩阵，k是一个数，则称矩阵

$\begin{pmatrix} _{ka11} & _{ka12}& ...&_{ka1n} \\ _{ka21}&_{ka22} &... &_{ka2n} \\ ... &... &... &... \\ _{kam1}&_{kam2} &... &_{kamn} \end{pmatrix}$