背景知识

复数模长计算

复数 $G = A + B * i$ ，他的共轭即 $G^-=A-B*i$

复数的共轭计算，除了用来求取模长，还用在内积、夹角求取上： $z_1\cdot \bar z_2$

傅里叶平移不变性

首先介绍一下傅里叶变换，傅里叶变换的作用，便是将一个信号分解为正弦函数的组合。其逆变换就是将正弦函数组合，合成一个信号。对于一个确定频率为 $\omega$ 的正弦波，其有如下性质：
$sin(\omega t+\theta)=\alpha\times sin(\omega t)+\beta\times cos(\omega t)$

由中学三角函数分解公式可得： $\alpha= cos(\theta )$ ， $\beta=sin(\theta)$

将一个确定函数使用傅里叶变换分解为正弦函数后，由于每个正弦函数都有如上性质，所以对于一个确定函数而言，平移它并不会改变分解后的频谱幅度，只会改变其相位的角度。

相位相关

如果我们要求解平移量怎么办呢，我们知道，平移后的信号，频率的幅度不会改变，只是相位改变了。假设两个频率相同的正弦信号， $f(\theta)=g(\theta+t)$ ，即 $g (x)$ 是 $f (x)$ 平移t后得到。如果我们要求偏移量t，那么只需要做信号相关计算：

这样一个个t试过去的办法，相对来说会慢一点，快一点的方法便是分别对两个函数求傅里叶变换，得到频域的复数表示：

由于这是一个复数，我们可以求得内积为：

然后由于结果还是一个复向量，我们可以除以模长归一化一下可得：
$\frac{F(\omega)\cdot \bar G(\omega)}{|F(\omega)\cdot \bar G(\omega)|}= e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

现在我们已经求得偏移夹角了 $\theta_0=\theta_1-\theta_2$ 。

此时我们只需要进行逆傅里叶变换，可得到以 $\theta_0$ 为起始的函数，并且对于该函数而言，取得最大值处的x便是偏移量:

所以逆傅里叶变换可得实部： $cos(\theta_0-x)$ ，在 $x=\theta_0$ 处取得最大值。所以取得最大值处便是偏移量 $\theta_0$

图像频谱图

对于傅里叶变换的平移不变性上面说过了，当然，你也可以使用公式严格推导下面结论：

当然，图像平移不会改变频谱幅度（但是改变相位），不过图像旋转，频谱也会跟着旋转，图像旋转多少度，频谱也跟着旋转多少度：

证明太繁琐，一幅图说明如下:
在这里插入图片描述

对数极坐标变换

这个相对比较简单，就是从图像的中心，按极坐标展开，得到右边的方形图（横向与园半径同，纵向与与角度对应）
在这里插入图片描述
这种展开，对于频谱图的旋转分析，优势是很大的，不知道你发现没，如果原图像旋转了，那么频谱图就绕其中心旋转，我们如果转换到对数极坐标下，这种旋转就变成上下平移了。于是我们便将原图的旋转，由频谱图的旋转分析变成了频谱图极坐标变换后的平移分析了。

功率谱

频谱是一个信号从时域表示转变为频域表示,归根结底只是同一种信号的不同的表示方式而已。而功率谱是从能量的观点对信号进行的研究。频谱和功率谱和关系归根揭底还是信号和能量、功率等之间的关系。

互功率谱

互功率谱是在频域内描述两个不同信号之间统计相关程度的一种方法。也就是之前用到的归一化内积公式：
$\frac{F(\omega)\cdot \bar G(\omega)}{|F(\omega)\cdot \bar G(\omega)|}$
原理很简单，之前说过了，只要对该值进行逆傅里叶变换，就能在偏移量处取得最大值。