440. 字典序的第K小数字（困难 字典树）

440. 字典序的第K小数字

给定整数 n 和 k，返回 [1, n] 中字典序第 k 小的数字。

示例 1:

输入: n = 13, k = 2
输出: 10
解释: 字典序的排列是 [1, 10, 11, 12, 13, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，所以第二小的数字是 10。
示例 2:

输入: n = 1, k = 1
输出: 1

提示:

1 <= k <= n <= 109

分析

今天的每日一题。
参考官方题解做的，官方题解：https://leetcode-cn.com/problems/k-th-smallest-in-lexicographical-order/solution/zi-dian-xu-de-di-kxiao-shu-zi-by-leetcod-bfy0/
下面写一下自己的理解：

上面是一颗字典树，利用前序遍历遍历到索引 k 得到的数字就是我们要的答案，问题在于，我们没有树，这该怎么办，那就想办法把遍历的思想拆解成几步做这道题。
1、以 i 为大的根节点(1 <= i <= 9)，其第二层的数字为 10 * i ~ 10 * i + 9，第三层的数字为 100 * i ~ 100 * i + 10 * i + 9，以此类推找到最大的数字大于 n 但是最小的数字小于 n 的那一层，那么 n 就在这层数字中，如果该层最小的数字大于 n，说明根节点不够大（例如n = 25，i = 1时，10 ~ 19都小于25，下一层100~199都大于25，i 需要加一继续寻找）；在找 n 的过程中记录经过的所有节点数目（相当于层序遍历记录每层节点数的过程），如果节点数目大于 k，说明目标节点在当前的根中（注意不是层中），就不必再继续往后找了
2、锁定了根之后，考虑如何找到第 k 个节点，如何进行前序遍历，假如说找到的根是 1，我们还是一层一层的找目标节点，利用节点数目是否大于 k 来判断在哪一层，按照前序遍历的思路每次把根节点换成当前根的子节点，例如我们知道以 1 为根的树总节点数大于 k，接下来以 10(即1 * 10)为根，如果还是大于 k，就以 100 为根，如果以 100 为根节点数小于 k 了，说明目标节点是以10为根的子节点，接下来开始对以101~109为根寻找目标节点，以此类推直到找到节点数刚好为 k。
3、以上思路实际上是个递归的过程，我们在代码中用迭代来实现，思路如下：
① 创建一个方法来计算当前根节点下小于等于 n 的总节点数，创建记录节点数目的变量 steps，利用 while 循环来计算，创建变量 first 和 last 等于根节点，那么该根节点的下面一层子节点范围是 first = first * 10~last = last * 10 + 9，总节点数（刚开始只有一个根节点）为 steps += min(last, n) - first + 1（需要考虑 n 在不在这一层中），再下一层子节点的范围是 first = first * 10~last = last * 10 + 9，，总节点数为 steps += min(last, n) - first + 1，这样循环体就确定了，循环退出条件是first > n。
② 用 curr 代表根节点，初始值为 1，判断以curr为根节点的树的节点数 steps 是否大于 k，如果不大于 k，k -= steps，并且根节点右移(curr = curr + 1)，否则根节点下移(curr = curr * 10)，循环退出条件是 k > 0。
4、补充：以上的根改变可以理解成找 n 的前缀的过程，例如对于n = 4652，上述根的变化是：1->2->3->4->40->41->42->43->44->45->46->461->462->463->464->465->4651->4652。同样本题可以用递归实现求解节点数目。

题解（Java）

class Solution {
    public int findKthNumber(int n, int k) {
        int curr = 1;
        k--;
        while (k > 0) {
            int steps = getSteps(curr, n);
            if (steps <= k) { //判断当前根节点下节点总数是否大于 k
                k -= steps;
                curr++;
            } else {
                curr = curr * 10;
                k--;
            }
        }
        return curr;
    }

    public int getSteps(int curr, long n) { //获取以 curr 为根的节点总数的方法
        int steps = 0;
        long first = curr;
        long last = curr;
        while (first <= n) {
            steps += Math.min(last, n) - first + 1;
            first = first * 10;
            last = last * 10 + 9;
        }
        return steps;
    }
}

递归：

class Solution {
    public int findKthNumber(int n, int k) {
        int cur = 1;
        k--;
        while(k > 0) {
            long cnts = dfs(cur, cur, n);
            if(cnts <= k) {
                k -= cnts;
                cur++;
            } else {
                k--;
                cur *= 10;
            }
        }
        return cur;
    }

    private long dfs(long l, long r, int n) {
        if(l > n) {
            return 0;
        }
        return Math.min(r, n) - l + 1 + dfs(l * 10, r * 10 + 9, n);
    }
}