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Decision tree

知识树

Knowledge tree

一个小故事

A story

挑苹果：

如下图：

1. 最顶端的叫根节点，所有样本的预测都是从根节点开始。

2. 每一个圆形节点表示判断，每个节点只对样本的某个属性进行判断。

3. 圆形节点是标记节点，走到圆形节点表示判断结束，将圆形节点中的标签作为对应的预测结果。

如何构建决策树：

1. 构建的决策树按顺序对每个特征进行判断（低效）

2. 每个判断节点都尽可能让一半进入A分支，另一半进入B分支（高效）

引入新的知识，信息熵

信息熵

Information entropy

1. 每走一步，我们都在确定苹果的好坏。

2. 在根节点时，我们对苹果的好坏一无所知。

3. 经过对颜色的判断后，如果是红色，我们明白好坏的概率是1/2。虽然还包含了1/2的不确定性。

4. 如果苹果红色的前提下又硬，我们100%确定它是好苹果。此时不确定性坍塌为0。

5. 这是一个减少不确定性的过程。

从整体来讲，我们希望决策树每走一步，不确定性都下降的快一些，让我们的判断步数无限小。

什么是信息的不确定性？

就是信息熵

在信息论与概率统计中，熵（entropy）是表示随机变量不确定性的度量，设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为

则随机变量X的熵定义为

熵越大，则随机变量的不确定性越大。其中0 ≤ H(P) ≤ log n

举例计算

Example

假设投色子，6个的概率分别是1/6，计算如下：

则最终=log6

这也解释了为什么上面H(P) ≤ log n

另外，均由分布的时候，熵最大，因为所有可能都是一样的，如上面的6个面都是1/6。

如果有1个坏苹果和9个好苹果时，我们可以认为大部分都是坏苹果。内部并不混乱，确定性很大，熵很小。

信息增益

Information gain

表示得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。

特征A对训练集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即：g(D, A) = H(D) - H(D|A)

当前的信息熵等于划分完（如划分成两个）的信息熵之和。

信息增益算法

输入：训练数据集D和特征A

输出：特征A对训练数据集D的信息

1. 计算数据集D的经验熵H(D)

   

2. 计算特征A对数据集D的经验条件熵H(D|A)

   

3. 计算信息增益

   

举个例子

Example

是否信贷

对上表所给的训练数据集D，根据信息增益准则选择最优特征。首先计算经验熵H(D)

然后计算各特征对数据集D的信息增益，分别以A1,A2,A3,A4表示年龄、有工作、有自己房子和信贷情况4个特征，则

1. 首先计算年龄

   

2. 计算有工作

   

3. 计算有无房子

   

4. 计算信贷情况

   

有无房子是作为信贷的第一个划分，下降的最快

信息增益比

Information gain ratio

信息增益比：

如果以信息增益为划分依据，存在偏向选择取值较多的特征，信息增益是对这一问题进行矫正。

举例：

如上面的例子，后面加入了身份证这个特征，身份证又是唯一的，算法对样本画了个15叉树，一层就搞定了全部的分类。

这样会造成一个问题，划分会倾向于特征取值数目较多的，即分的更快。

但在预测集上就出现很大的问题了，即预测集的身份证肯定也是唯一的。

定义：

特征A对训练数据集D的信息增益比

定义为其信息增益g(D,A)与训练数据集D关于特征A的经验熵H(D)之比：

计算：

如上面的年龄，有3个类（青年、中年、老年），

信息增益比和信息增益的区别就是除以

决策树的构建

Build the decision tree

C4.5算法，大体相同，只不过计算的是信息增益比，而不是信息增益。我们通常也是用C4.5作为决策树的算法，其区别也就在于多了个分母。

总结

Summarization

1. 决策树的核心思想：以树结构为基础，每个节点对某特征进行判断，进入分支，直到到达叶节点。

2. 决策树构造的核心思想：让信息熵快速下降，从而达到最少的判断次数获得标签。

3. 判断信息熵下降速度的方法：信息增益。

4. 构建决策树算法：ID3（使用信息增益）、C4.5（使用使用信息增益比）。

5. 信息增益会导致节点偏向选取取值角度的特征的问题。