【一些常用的递推通项公式的求法】

1.前言：在很多题目里会涉及到递推公式的使用，然而大多数递推公式都是有很强的前后依赖性，第n项的求解依赖于n前边的几项。比如大名鼎鼎的fib数列。但是很多时候，我们要O(1)公式。本文简单的谈一下一些常见的递推公式的求解。

2.一阶线性递推。形如：

这种序列，显然是可以构造一个矩阵，然后利用矩阵快速幂求解。但是我们也可以求解它的通项公式。首先是特征方程：

我们把an,an-1,an-2分别看作二次项，一次项，和常数项。然后就可以得到一个一元二次方程：

我们把这个方程接一下，会得到两个根x1,x2。（这里在复数域下解方程）。然后通项公式：

在x1,x2是共轭复数时，采用复数的三角表示法给出。一般最常用的就是前两种。其中，A,B这些系数由前几项待定系数解出。

这样，其实就很轻松地推出了fib数理的通项公式。

   例题：​​南昌网赛H​​。其实这个题出的很棒，但是由于数据有点水导致很多错误解法AC。真实的做法就是：

然后找一下sqrt(17)关于998244353的二次剩余，把这个公式写成了O(1)公式，但是还是只能O(logn)解决，依旧不行，O(log)的原因就是快速幂还需要O(logn)，如何消除这个log？受到BSGS的启发，我们先预处理掉一部分幂，存下来然后每次在数组里面找，这样预处理之后就是O(1)的方案。

（2）一阶分式递推。      这种类型的叫做一阶分式递推。同理，我们做这个分式的特征方程：

这个方程也是二次方程，也会有两个根： x1,x2.所以简单推导一下：

首先是两个相异的根：

由于这里的x1,x2都是常数，所以两式相除可得：

OK，这里就显然等比数列了。

然后是两个相等的根：可以解出:x1=x2=   .然后：

                                                     .

把这个分式拆一下，然后x1带入可得：

显然等差数列。

例题：​​沈阳网赛G​​。题目的意思就是用n个三角形和n个bar连成电路，然后问你它的总电阻是多少。

其实这个题也是一个好题，奈何推出来的式子太特殊，题目要求的精度也不是很高，不需要公式即可解决。

思路：首先我们设bn表式已经连好了n个三角形和n个bar。来推n+1

首先式bn和一个电阻为a的12并联，也就是：并联之后，再和23并联，这时和24串联，最后和34并联。按照电阻串并联的公式推一下，可以退出bn+1和bn的关系：

其实可以继续推下去把通项公式接出来，不过因为这个式子收敛的比较快，所以当n大于20左右时，就不会有精度的错误了，都按照20来做。所以没必要推公式，直接模拟就行。

#include<bits/stdc++.h>
double a;
double Solve(int n) {
  if (n == 1) {
    return 5.0 / 3.0 * a;
  }
  double b = Solve(n - 1);
  double r = 3 * a + 1.0 / (1.0 / (3 * a) + 1.0 / a + 1.0 / b);
  return 1.0 / (1 / (3.0 * a) + 1 / r);
}
const int N = 1e6 + 10;
char x[N];
int main() {
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) 
  {
    scanf("%s", x);
    int n;
    if (strlen(x) > 1)n = 10;
    else n = x[0] - '0';
    
    scanf("%lf", &a);
    printf("%.10f\n", Solve(n));
  }
}