一、原理
并查集主要运用与求一些不相交且有关联的集合的合并，这一点我们从后面的例题中进一步理解，我们首先掌握并查集的原理和运用
并查集的主要操作有：
1. 初始化Init
我们将每个数据看作一个树的节点，初始化每个节点指针指向自己
我们用一个数组fa[]的下标index表示节点， 用fa[index]表示该节点的根节点；
2. 查询 find
查询一个节点的根节点，以用于其他操作；
如上图， 若要查询数据3所在的集合的根节点，想做图这样的链接方式每次查询需要O(n)的时间，我们需要在查询时将树的结构转换成右图所示，这样之后的每次查询时间复杂度为O(logn)
3. 合并 union
实现两个集合的合并，可以抽象成两颗树的合并，即将两颗树的根节点相连；
二、代码模板
//初始化
vector<int> fa(n* n);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
//查询
function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };
//合并
fa[find(x)] = find(y);
三、练习
1、 990.等式方程的可满足性🟢
解题思路：合并等式方程两侧字母，运用并查集管理相等字母集合
class Solution {
public:
bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
//初始化
vector<int> fa(26);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
//查询
function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); };
for (auto s : equations) {
if (s[1] == '=') {
int x = s[0] - 97, y = s[3] - 97;
fa[find(x)] = find(y); //相等则合并
}
}
for (auto s : equations) {
int x = s[0] - 97, y = s[3] - 97;
if (s[1] == '!' && find(x) == find(y)) return false; //矛盾，返回false
}
return true;
}
};2、 1061. 按字典序排列最小的等效字符串🟢
解题思路：由等价关系可以一眼看出这道题使用并查集，s1与s2对应字母放入一个集合(即将其合并)，最终找到baseStr每个字母对应的集合中的最小字典序字母
class Solution {
public:
string smallestEquivalentString(string s1, string s2, string baseStr) {
//初始化
vector<int> fa(26);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
//查询
function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); };
for (int i = 0; i < s1.size(); i++) {
int x = s1[i] - 97, y = s2[i] - 97;
fa[find(y)] = find(x); //合并
}
unordered_map<int, set<char>> g; //统计以根节点代表的一个集合中的所有节点
for (int i = 0; i < 26; i++) {
g[find(i)].insert(i + 97);
}
for (int i = 0; i < baseStr.size(); i++) {
//利用set默认排升序的特点，找到baseStr[i]的根节点的集合中的最小字母
baseStr[i] = *(g[find(baseStr[i] - 97)].begin());
}
return baseStr;
}
};3、721.账户合并 🟡
解题思路：根据题意，拥有相同邮箱的账户为同一人，最终需要将相同用户的邮箱合并到一起，同样也是一眼并查集，但是代码实现起来可能有些复杂；首先需要遍历所有邮箱，判断是否有重复，将拥有同一邮箱的用户合并，需要特别注意的是，用户名相同不代表是同一人，最终将属于同一集合的用户邮箱用set去重，返回结果；
class Solution {
public:
vector<vector<string>> accountsMerge(vector<vector<string>>& accounts) {
int n = accounts.size();
//以accounts的下标[0, n)作为用户名字，方便以下标寻找父亲
vector<int> fa(n);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0); //初始化
function<int(int)> find = [&](int i) -> int { return fa[i] == i ? i : fa[i] = find(fa[i]); };
//key:邮箱 val:名字
unordered_map<string, vector<int>> email_name;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < accounts[i].size(); j++) { //遍历每个账户的所有邮箱
email_name[accounts[i][j]].push_back(i);
//如果同一个邮箱出现多个名字，那么认为为同一个人，此时连接
if (email_name[accounts[i][j]].size() > 1) {
fa[find(email_name[accounts[i][j]][0])] = find(i); //合并
}
}
}
//之前尝试用map,但是同一个名字可能不是同一人，所以map行不通
//用set去重
vector<set<string>> g(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int f = find(i); //找到根节点，将邮箱插入到根节点的数组中
for (int j = 1; j < accounts[i].size(); j++) {
g[f].insert(accounts[i][j]);
}
}
vector<vector<string>> ans;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (g[i].size() != 0) {
vector<string> tmp = {g[i].begin(), g[i].end()}; //将set转vector
tmp.insert(tmp.begin(), accounts[i][0]); //头插名字
ans.push_back(tmp);
}
}
return ans;
}
};4、 839.相似字符串组🟡
解题思路：暴力遍历+dfs查询相似字符串，将相似字符串合并，最终返回集合个数
class Solution {
public:
int numSimilarGroups(vector<string>& strs) {
int n = strs.size();
//初始化
vector<int> fa(n);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
//查询
function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };
int vis[n];
memset(vis, 0, sizeof(vis));
//dfs
function<void(int)> is_same = [&](int i) -> void {
vis[i] = true;
string& s1 = strs[i];
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (!vis[j]) {
string& s2 = strs[j];
if (s1 == s2) { //相同字符串相似，直接合并
fa[find(j)] = fa[i];
is_same(j);
} else {
int dif = 0;
for (int k = 0; k < s1.size(); k++) {
if (s1[k] != s2[k]) dif++;
if (dif > 2) break;
}
if (dif == 2) { //恰有两个位置字符不同则相似，合并
fa[find(j)] = fa[i];
is_same(j);
}
}
}
}
};
//dfs入口
for (int i = 0; i < n; i++) {
if(!vis[i]) is_same(i);
}
//用set去重，返回集合个数
set<int> ans;
for (int i = 0; i < n; i++) ans.insert(find(i)); //将根节点插入set中
return ans.size();
}
};5、 2812.找出最安全路径 🔴
解题思路：由题，求从左上角到右下角路径中的最小安全系数的最大值：倒序枚举答案(安全系数)， 将>=当前安全系数的坐标用并查集相连(合并)，一次循环结束判断左上角与右下角是否相连
class Solution {
public:
static constexpr int dirs[5] = {1, 0, -1, 0, 1};
int maximumSafenessFactor(vector<vector<int>>& grid) {
int n = grid.size();
vector<pair<int, int>> q;
vector<vector<int>> dis(n, vector<int>(n, -1));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0;j < n; j++) {
if(grid[i][j] == 1) {
q.push_back({i, j});
dis[i][j] = 0;
}
}
}
//bfs求每个点安全系数，及不同安全系数的值的下标（用于后续并查集的合并）
vector<vector<pair<int, int>>> groups = {q};
while (!q.empty()) {
int safe = groups.size();
vector<pair<int, int>> tmp;
for (auto &[i, j] : q) {
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n && dis[x][y] < 0) {
dis[x][y] = safe;
tmp.push_back({x, y});
}
}
}
if (tmp.size() > 0)groups.push_back(tmp);
q = move(tmp);
}
//初始化
vector<int> fa(n*n);
for (int i = 0; i < n * n; i++) fa[i] = i;
//查询
function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };
for (int ans = groups.size() - 1; ans > 0; ans--) {
for (auto& [i, j] : groups[ans]) {
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n && dis[x][y] >= dis[i][j])
fa[find(x * n + y)] = find(i * n + j); //合并
}
}
if (find(0) == find((n - 1) * n + n - 1)) return ans; //相通则返回答案
}
return 0;
}
};
