On the Importance of Uncertainty Representation in Active SLAM

本文目的在于强调表示和量化不确定性的重要性，来评估机器人行进的每个时间步的位置估计的置信度，从而决定主动SLAM任务中的正确行动路线。分析了二维和三维中不同决策准则的单调性，包括不确定性的表示和机器人姿态的方向。单调性是不确定性随着机器人移动而增加的特性，这对于决策来说是必不可少的。本文分析表明使用微分表示来表示不确定性，所有的优化标准都保持单调性（A-opt、D-opt、 E-opt 和香农熵。），

介绍

主动SLAM算法的目标是在时间和计算预算内，规划机器人前方的运动，以最大化探测区域，最小化与估计相关的不确定性。在SLAM算法的探索阶段，机器人在未知区域导航，与机器人定位相关的不确定性变得无界[1]。只有在重新访问先前已知的区域后，通过检测回路闭合，机器人的定位不确定性才会降低[2]。

本文重点是表示和量化不确定性的重要性。

文献中提出了三维不确定性概率表示的两种基本模型:绝对模型（absolute representations ）和微分模型（Differential representations）。

在绝对模型中，关于机器人姿态位置的不确定性的信息由相对于所选基准的绝对位置的概率分布函数表示，通常是高斯分布。估计位置由预期位置变量得出，不确定性由其相关协方差矩阵得出。

而在差分模型中，使用不确定性的局部表示，机器人的位置估计由绝对位置的最佳近似表示，估计误差由差分位置向量局部表示。这个向量通常也用高斯概率分布函数来表示。

在SLAM中量化不确定性的最常见方法是基于协方差矩阵的实标量函数，一些主动SLAM算法依赖于最优性准则，该准则旨在量化地图和机器人的姿态不确定性：

• A-opt ： 协方差矩阵的迹或其特征值的和

• D-opt ：协方差矩阵的行列式或其特征值的乘积

• E-opt ： 最大特征值

一些论文表示 D-opt 各种与SLAM相关得任务中具有理想得效果。或者基于信息论的香农熵。

在主动SLAM场景中，在探索期间保证这些决策标准的单调性，即正确量化封装在协方差矩阵中的不确定性正在增加，是做出正确决策的重要一步。在探索过程中，与机器人定位相关的不确定性会增加。因此，如果不保持所考虑标准的单调性，系统可能会选择减少机器人不确定性的行动路线或路径。

（有必要一直保持单调么，未来预期的总不确定性是否更加重要）

本文研究了二维和三维中不同决策准则的单调性，这取决于不确定性的表示和机器人姿态的方向。

而本文的研究表明使用差分表示来表示不确定性，所有的优化标准都保持单调性（A-opt、D-opt、 E-opt 和香农熵。

Spatial Uncertainty Propagation

不确定性的绝对表示

在经典的概率模型中，关于B相对于A的位置信息由高斯分布函数表示，估计位置由矢量$X_{AB}$的期望值得出，不确定性由其相关协方差矩阵得出:

$\begin{array}{l}{\hat{x}}_{AB}=E[x_{AB}]\\ {\Sigma }_{AB}=E[(x_{AB}-{\hat{x}}_{AB})(x_{AB}-{\hat{x}}_{AB}{)}^T]\end{array}$

在二维情况下$$x_{AB}=(x_{AB},y_{AB},{\theta }_{AB}{)}^T$$，在三维情况下$$x_{AB}=(x_{AB},y_{AB},z_{AB},{\omega }_{AB}{)}^T$$

如上图（a）可以观测到两段空间位置 $x_{AB}$和 $x_{BC}$ 以及它们对应的不确定性${\sum }_{AB}$ 和 ${\sum }_{BC}$ ，通过非线性变换计算复合位姿$x_{AC}$

不确定性传播是通过(2)的一阶泰勒展开式[27]获得

其中 $J_{1\oplus }$ ，$J_{2\oplus }$ 分别表示位置向量相对于第一操作数和第二操作数组成的雅可比矩阵，在二维情况下表示为：

在三维情况下：

其中 $M,R,K_1,K_2$ 翻滚-俯仰-航向角和欧拉角的关系，以及单位四元数的关系。

假设噪声序列不相关，$x_{AC}$的协方差矩阵由（3）得出，

不确定性的差分表示

差分模型使用不确定性的局部表示，机器人相对于基准参考系 A 的估计位置由 ${\hat{x}}_{AB}$ 表示，代表真实位置的最佳近似值。此外，估计误差由相对于参考帧 B 的差分位置向量 $d_B$ 局部表示

其中 $d_B$服从正态分布，均值和协方差矩阵如下：

独立于基准参考系 A的位置不确定性。

如上图（b）$x_{AC}$ 由 $x_{AB}$和 $x_{BC}$ 组成，并且包括其对应的差分位置向量和协方差矩阵，

其中 $J_{CB}$为$x_{CB}$的雅可比矩阵 ，在二维情况的表示为：

三维情况下：

其中 $R_{BC}$ 是正交旋转矩阵，$D_{BC}$是与$x_{BC}$相关的3*3 的斜对称矩阵。

Monotonicity of Optimality Criteria

这一部分从最优实验设计理论的角度，研究了当机器人在主动SLAM系统中进行探索时，最优性准则的单调性是否成立。基于机器人位姿的估计协方差矩阵，采用不同的准则量化机器人估计位置的不确定性：1)A-最优性(与其迹成比例)；2)D-最优性(与其行列式成正比)；和3)E-最优性(它的最大特征值)。假设机器人姿态的相关误差在一阶线性化误差框架下传播，使用如上所述的不确定性的绝对表示或微分表示

不确定性的绝对表示

-最优性(与其迹成比例)；2)D-最优性(与其行列式成正比)；和3)E-最优性(它的最大特征值)。假设机器人姿态的相关误差在一阶线性化误差框架下传播，使用如上所述的不确定性的绝对表示或微分表示

不确定性的绝对表示