寒假自训日志 01.15

数学：

牛客新手上路
素数题目：1001 - 1006
做了一个称手的素数筛板子

//p[i] means that i-th prime number
const int maxn = 1e8+5;
bool vis[maxn];
vector<int> p;
void prime(int n)
{
	for(int i = 2; i < n; i++)
	{
		if(!vis[i])
			p.push_back(i);
		for(int j = 0; p[j] * i <= n && j < p.size(); j++)
		{
			vis[i * p[j]] = 1;
			if(i % p[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

以及最小素因数板子 (当n == 1 -> ans = 0）

//minifactor[i] means that i-th minimum prime factor
//prime[i] means that i-th prime number	
const int LIM = 1e6 + 10;       /* The limit of number to be test */
int prime[LIM / 3];
int vis[LIM / 3];
int miniFactor[LIM];	//min Prime factor number
int primepos;
void euler() 
{
    int tmp;
    for (int i = 2; i < LIM; i++)
    {
        if (!miniFactor[i]) prime[primepos++] = i, miniFactor[i] = i;
        for (int j = 0; (tmp = i * prime[j]) < LIM; j++) 
        {
            miniFactor[tmp] = prime[j];
            if (!(i % prime[j])) break;
        }
    }
}

同余方程求解：1012

（第一次正视欧几里得拓展）

其实我一开始拿到题目的时候化简出二元一次方程求极值，想用用不等式求解该问题，但是不等式存在极值的条件是两端取相等的条件下，还会存在开根号，被题目正整数的取数有很大影响，很难施展所以才得学欧几里得拓展

首先知道gcd(a , b) = gcd(b , a % b）

其次理解对于不完全为 0 的非负整数 a，b，必然存在整数对 {x，y} ，使得 gcd（a，b）= ax + by

证明：
对于原式子：gcd（a，b）= ax + by，(一种特判)令b = 0，可得gcd（a , 0) = ax ，即 a = ax，得一组特判的解x1 = 1，y1 = 0（我不理解为什么y可以取值为0）
当ab ！= 0时

ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
得
ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
得
ax1+by1 = bx2+(a-(a/b)*b)y2 = ay2+bx2-(a/b)*by2;
得（恒等定理）
x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

观察等式得出答案可以类似递归求解

明确欧几里得拓展的使用场景

（1）求解不定方程 pa + qb = c

存在整数解的判断条件：c mod gcd(p,q) == 0

（2）求解模线性方程（线性同余方程）

（3）求解模的逆元

ps: 2022.01.15因未搞懂gcd（a，b）= ax + by特解中b == 0时y可以取值为0，所以并没有学懂