本份复习资料，是我结合自己去年的学习心得，围绕张老师课程ppt的一些重点和难点根据自己的理解做了一些总结分析，对于一些比较难的内容，在这次准备中我也查阅了多份资料，结合着自己的理解补充在这份文档里。在大家学习过程中可能会发现ppt里的例子比较少，练手的机会不多，到临近考试的时候熟练度不够就开始慌乱，在这份文档我也会挑选一些习题供大家练习，之后也会给大家准备一些编程题，希望大家能实操下更全面把握这门课程。
当然，本份文档只是大家学习数值计算方法时的一点补充，大家还是要以老师的ppt和课本为主，把这份资料和ppt搭配食用效果更佳。
第一章：误差
“误差”这个概念想必经历过基物的你们都不陌生，好歹也做过不少的误差分析。误差有四种：模型误差，观测误差，截断误差和舍入误差。其实感觉也挺巧了，基物多分析的其实是前两种，不过这门课主要是后两种。前两种误差也比较好分辨，有些同学可能对后面两种误差有点混，因为它们都有“舍去”一部分的意思，具体理解上截断误差主要对表达式进行“舍去”，比如无穷级数只保留前面几项式子，而舍入误差对应的是数，即把无理数保留有限位数。具体可以看看ppt的例子理解理解。
第二部分就是绝对误差，绝对误差限，相对误差，相对误差限和有效数字的理解了，你需要了解的也就是把这些区分开，然后给你个数你能写出这几个值。这个部分老师的ppt老师讲的很详细了，大家理解起来估计也没什么难度。当然有一个点可以明确一下的就是我们是没法知道精确值的，只能获得一个近似值，因为精确值未知，所以绝对误差本质上也是不确定的（实际测量问题中），所以才有误差限这个概念，这里有点数分那味了。相对误差就是绝对误差比去准确值，但是准确值未知，就用近似值代替了。
这边多说一点误差的运算问题，设两个近似数
和
的误差限分别为
和
，则它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别满足不等式（其实就理解成求导嘛，就是误差只能变多）
更一般情况，当自变量有误差的时候计算函数值也产生误差，具体推导可用泰勒公式证得，在近似情况我们有公式：
有效数字基于四舍五入原则，也就是因为四舍五入，所以我们可以知道绝对误差限不超过最后一位数的半个单位（比如你四舍五入得到一个数2.11，那么准确数x就必须在(2.105，2.115)开区间里，就是最后一位数的半个单位）。具体定义时有效数字是根据误差限反着来定义的，实际上也不难，就注意下2.11和2.1100类似这样的区别。至于精确到多少就是这个数的最后一位数，前面的例子分别精确到0.01和0.0001。
上面主要讨论了有效数字和绝对误差限的联系，我们知道绝对误差限和相对误差限由准确值串起，另外需要注意的是讨论这块时已经全用规格化表示了，
,（这里有个细节其实我盘了一会，就是m=0的时候其实才是对应着我们熟悉的科学计数法，而不是m=1）回到相对误差限，根据不等号方向，我们得让x*大于一个数，这里就取了
次方了，这个是m-1也就是前面注释的与科学计数法的差别，其实就是
。这部分讨论的其实是根据有效数字推相对误差限，那么同样定理2就是相对误差限推有效数字了，这里当然也用了绝对误差限做了桥梁，同时要理解|
这个式子，简单理解就是0.29999小于0.3这件事。之后大家着重看看ppt的例子，公式的话重在理解~
下一个部分主要讨论了有舍入误差时的计算注意原则，第一个就是避免两个相近的数相减，这会让有效数字变少，主要解决办法包括有理化化相减为相加，也可以用一些常见的展开公式（这边大家多总结）。关于数的运算规则，加减看小数点后位数最少，乘除看有效数字最少。具体理解就是为什么是这么运算入手，这两个其实都是短板效应，当某个数只能精确到小数点后两位时，那么显然之后的位数都是不准确的，即使其它值能更精确但也要以这个为准的，（如果只能精确到0.01，那么你无法确定2.11是2.110还是2.114，如果你按照这个原则就相当于你默认这个值是2.110了，那么显然是不对的），加减和乘除的区别在于具体运算时的对齐方式，大家可以画个竖式看看（加法是小数点对齐，乘法其实算是最后一位有效数字对齐）。第三个注意事项是绝对值太小的数不适合做分母，稳定性比较差，另外就是运算是先把小的数加起来看看能不能进位啥的。就是所谓避免大数吃小数。
