LeetCode约瑟夫环

题目描述

方法一

这是一种思路最直白的方法，构造一个数组，每次往后数m-1个就移除该元素。往后数m-1个的过程中由于是线性数据结构，需要对当前数组长度取模

int lastRemaining(int n, int m) {
        vector<int> nums;
        for(int i=0; i<n; i++){
            nums.push_back(i);
        }
        int len = nums.size();
        int index = 0; 
        while(len > 1){
            index = (index + m - 1) % len;
            nums.erase(nums.begin() + index);
            len--;
        }
        return nums[0];
    }

这种方法用C++提交是超时的，但是用Java提交可以通过

方法二、倒推幸存者最终位置

此题目原型是约瑟夫环，此方法的思路是假设刚开始只有1个人，那幸存者的位置肯定是0，然后推出刚开始有2个人，幸存者的位置…最后推出刚开始有n个人时，幸存者的位置
接下来，我们先用n=8的情况推出n=7的情况，然后用n=7的情况倒推出n=8的情况，最后进行推广得到递推公式。

下面用n = 8 ， m = 3举例说明解题思路

• 红色表示该轮被删除的元素，绿色表示最终存在的元素

我们现在需要倒推当数组元素为8个时，元素G所在的位置。那我们应该怎么倒推呢？怎么删除的，我们就怎么倒推回去。我们将删除元素的步骤分为3步：移动到最后、去掉元素、整体往前移。下面以第一轮的操作举例

1. 3个元素移动到最后：

• 将ABC这3（m）个元素移到最后，所谓移到数组最后就是改变ABC三个元素的索引即可，通过加上数组长度实现。A一开始的索引为0，加上数组长度后为8。B、C的索引分别为9、10

2. 删除元素

• 这一步在代码中其实不用操作，放置到数组末尾即可

3. 整体往前移

• 通过修改数组索引完成，就是对所有元素的索引-3（-m）



• 现在对比一下最上面的一幅图，我们成功的从n=8的情况推到了n=7的情况

倒推

当前情况是n=7，m=3，我们将上述三步反过来得到n=8的情况

1. 整体往后移

• 这一步通过+3（+m）实现

2. 补上被删除的元素

3. 3个元素移到最前

• 这一步通过取模完成，ABC的索引分别为8、9、10，对8取模后索引成为0、1、2
  而其他元素的索引不变（对当前长度n取模）



• 现在对比最上面的一张图，发现我们成功的从n=7的状态倒推到了n=8的状态

从n-1状态下的安全位置转换到n状态下的安全位置的递推公式如下：
safePos[n] = (safePos[n-1] + m) % n

int lastRemaining(int n, int m) {
      int safePos = 0;//最终只剩下一个人，所以最终的安全位置为0
      // i表示每一次数数结束，所剩下的人数
      for(int i=2; i<=n; i++){
          safePos = (safePos + m) % i;
      }
      return safePos;
  }

参考题解：​​换个角度举例解决约瑟夫环​​

递归

思路和上面差不多，直接给代码

class Solution {
public:
    int getSafePos(int n, int m){
        if(n == 1) return 0;//约瑟夫环只有一个人时，安全位置为0
        int pos = getSafePos(n - 1 , m);
        return (pos + m) % n;
    }

    int lastRemaining(int n, int m) {
        return getSafePos(n, m);
    }
};