C++算法之快速排序
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一、快速排序引出
我们知道，给一个长度为n的序列排序，有三种很简单的算法：选择排序、冒泡排序、插入排序。这三种算法的复杂度均为O(n^2)。
如果按照计算机1秒钟可以进行10^8次计算作为参照，那么它1秒之内可以排序的序列长度大概为10^4这个数量级。
然而，在实际生活中，10^4级别并不是一个很大的数字，比如说山东每年会有超过50万人参加高考。如果我们想将山东省内所有学生按照高考成绩排序的话，使用O(n^2)将会运行：
不得不说，这样的算法并不算高效。那么，我们能不能设计出更高效的算法呢？
- 一种优化方法
假设现在，我们只想对1~n的数字排序。并且现在我们有个排序算法，运行复杂度刚好是n^2。
如果：
先把该序列分成两部分，一部分是1~(n/2)，另一部分是(n/2+1)~n；
然后对两个序列进行分别排序 ；
最后再将两部分贴在一起，这个算法的复杂度是多少呢？
1、首先，我们将序列分为长度相等的大小两部分。
此时我们需要将所有<=n/2的数字调出来放到一边;
将所有>n/2的数字挑出来放到另一边;
这个步骤相当于将所有数字看一遍，所以复杂度是O(n)。
2、然后，我们使用原来掌握的排序算法，分别给分好的两个序列排序。
因为两个序列的长度都是n/2，所以两边排序的复杂度都是(n/2)2 = n2 / 4。两部分排序的总复杂度是(n2 / 4) * 2 = n2 / 2。
3、最后，我们需要把两部分的排序结果贴在一起。
这个操作几乎不费时间。
所以，我们最终复杂度将是n^2 / 2 + n。和原来直接运行排序算法得到复杂度为n^2 相/比，我们节省了近一半的时间！
由此，我们只需要将原序列划分一下，两边分别排序，最后将该序列合并，就能节省一半的时间（此时因为复杂度仍为平方级别，所以，我们只是在原算法的基础上优化一个常数）。
那么，我们能不能进一步优化该算法呢？
答案是可以的，只要我们按照上述步骤继续分下去就可以了，如下图：
二、代码实现
// 该代码参考 https://www.geeksforgeeks.org/quick-sort/
#include <bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int n;
int a[N];
void quick_sort(int l, int r) {
// l和r分别代表当前排序子段在原序列中左右端点的位置
// 设置最右边的数为分界线
int pivot = a[r];
int k;
/* 此处省略了元素移动和确定分界线新位置k的过程 */
if (l < k - 1) quick_sort(l, k - 1); // 如果序列的分界线左边的子段长度>1，排序
if (k + 1 < r) quick_sort(k + 1, r); // 如果序列的分界线右边的子段长度>1，排序
// 上面的过程结束后，到这里左子段和右子段已经分别排好序。又因为确定分界线以后的移动操作
// 保证了左子段中的元素都小于等于分界线，右子段中的元素都大于分界线。所以整个序列也是有序的。
}
int main() {
// 输入
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
// 快速排序
quick_sort(1, n);
// 输出
for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", a[i]);
return 0;
}
三、复杂度分析
空间复杂度
首先该算法的空间复杂度是O(n)，具体来说，在整个排序过程中，元素的移动都在原始数组中进行。所以快速排序是一种原地排序算法。
时间复杂度
可以看出，在「详细算法描述」中，我们的算法分为若干层。每一层中都是分治法的三个步骤：我们首先进行问题拆分，然后进入下一层，下一层的问题解决后，我们返回这一层进行子问题解的合并。
我们首先分析对1~n的n个数字进行快速排序的情况。
在每一层中，问题拆分的复杂度是O(n)，因为我们移动数组元素的时候，需要将每个子段扫一遍。那么把所有层的子段一起看，就相当于在每一层都把整个序列完整扫了一遍。对于子段解的合并，其复杂度是O(1)，因为有分界线的存在，当我们把左边和右边都排好序后，它们和分界线元素一起天然形成了原序列的完整排序。
那么一共有多少层呢？因为每次我们都知道当前子段的中位数，所以可以保证每次划分，两个字段长度比较平衡，所以下一层子段的长度都比上一层减少了一半，直到长度为1算法停止。所以整个算法有logn层。
那么我们分析出在这种情况下，算法的复杂度是O(n * logn)。这样，在1秒之内，计算机能非常轻松地排序10^6 及以上的数据。
但对于任意n个数的排序，每次划分情况取决于选取的分界线情况。如果每次分界线刚好取到最小值或者最大值，会导致划分时所有数字都会移动到同一边，整个算法的复杂度也会下降为O(n^2)。如下图：
我们很容易想到两种尽量避免出现这种情况的方法：
- 在排序之前，先把整个数组随机打乱顺序。
- 在选取分界线时，与之前固定选取某个位置的方法相比，我们换成随机选择分界线的位置。
这两种方法都能极大概率避免上面提到的极端情况的发生。
