0
点赞
收藏
分享

微信扫一扫

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包


文章目录

  • 关系的运算
  • 基本运算
  • 关系的复合运算
  • 关系的逆运算
  • 关系的性质
  • 一. 自反性和反自反性
  • 二.对称性和反对称性
  • 三. 传递性
  • 关系性质的判定定理
  • 关系的性质闭包
  • 关系的幂运算
  • 传递闭包的关系矩阵
  • 闭包关系的性质
  • 多重闭包

关系的运算

定义5.2.1:
设R,S是X到Y的二元关系,则R∪S,R∩S,R-S,~R,R ⨁ S也是X到Y的二元关系。
二元关系是以序偶为元素的集合,因此可以对它进行集合的运算,如∩、∪、-、 ~和⨁运算而产生新的集合。

基本运算

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系


例子:

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_02

关系的复合运算

(实例引导)

设有家族成员集合A:

R1是A上的姐弟关系,<x,y>R1,表示x是y的姐妹,

R2是A上的父子关系,<y,z>R2,表示y是z的父亲。

由于y的中间作用,x与z之间产生了一种新的关系:姑侄关系。

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_03


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_04


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_05


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_06


关系复合运算性质:

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_07


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_08


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_09

关系的逆运算

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_10


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_11


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_12


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_13


逆运算的性质:

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_14


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_15

关系的性质

一. 自反性和反自反性

定义5.3.1:

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_16


从关系有向图看自反性:每个结点都有环。

从关系矩阵看自反性:主对角线都为1。

从关系有向图看反自反性:每个结点都无环。

从关系矩阵看反自反性:主对角线都为0。

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_17

集合A上自反、反自反关系的个数

例5.3.1:

 设|A|=n,试计算A上所有具有自反和反自反性质关系R

的个数。

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_18


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_19

二.对称性和反对称性

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_20


从关系有向图看对称性:在两个不同的结点之间,若有边的话,则有方向相反的两条边。

从关系矩阵看对称性:以主对角线对称的矩阵。

 由R的关系图看反对称性:两个不同的结点之间最

多有一条边。

 从关系矩阵看反对称性:以主对角线对称的两个

元素中最多有一个1。

 对称与反对称不是完全对立的,有些关系它既是对称也是反对称的,如空关系和恒等关系;亦存在既不对称也不是反对称的关系。

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_21

三. 传递性

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_22


从关系图和关系矩阵中不易看清是否有传递性。一般直接根据传递的定义来检查。

检查时要特别注意使得传递定义表达式的前件为F的时候此表达式为T,即是传递的。

即:对任意的x,y,z∈A,如果<x,y>R或者<y,z>R,则R在A上是传递的。

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_23


空关系是一种特殊关系,指关系集A×B中的子集∅。非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的,但不是自反的;

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_24


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_25


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_26

关系性质的判定定理

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_27


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_28


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_29

关系的性质闭包

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_30


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_31


闭包定义:

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_32


自反闭包对称闭包传递闭包计算方法:

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_33


传递闭包:

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_34

整数集上的自反闭包

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_35


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_36

关系的幂运算

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_37


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_38


单位元(幺元)

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_39


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_40


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_传递闭包_41


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_42


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_结点_43


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_44


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_45


鸽巢原理一般指抽屉原理,是组合数学中一个重要的原理。抽屉原理的含义:如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果代表一个元素,假如有n+1个元素放到n个集合中,其中必定有一个集合里至少有两个元素

传递闭包的关系矩阵

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_46


Warshall算法

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_47


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_48

闭包关系的性质

  1. R是A上关系,则
    ⑴ R是自反的,当且仅当 r(R )=R。
    ⑵ R是对称的,当且仅当 s(R )=R。
    ⑶ R是传递的,当且仅当 t(R )=R。

多重闭包

二元关系的闭包仍然是二元关系,还可以继续对求得的关系求闭包。

 例如,R是A上的二元关系, r®是它的自反闭包,还可以求r®的对称闭包。r®的对称闭包记为s(r®),简记为sr®,读作R的自反闭包的对称闭包。

 类似的,R的对称闭包的自反闭包r(s®)简记为rs®,R的对称闭包的传递闭包t(s®),简记为ts®,……

离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_离散数学_49


离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包_二元关系_50


举报

相关推荐

0 条评论