文章目录
🍀引言
🍀什么是梯度下降？
🍀损失函数
🍀梯度(gradient)
🍀梯度下降的工作原理
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初始化模型参数：首先，随机初始化模型参数或使用某种启发式方法。
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计算损失和梯度：使用当前模型参数计算损失函数的值，并计算损失函数相对于参数的梯度。
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参数更新：根据梯度的方向和学习率（learning rate）本文我称其为eta，更新模型参数。学习率是一个控制步长大小的超参数，它决定了每次迭代中参数更新的大小。
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重复迭代：重复步骤2和3，直到损失函数的值收敛到一个稳定的值，或达到预定的迭代次数。
🍀梯度下降的变种
在梯度下降的基础上，发展出了多种变种算法，以应对不同的问题和挑战。其中一些常见的包括
🍀随机梯度下降（SGD）
🍀批量梯度下降（BGD）
🍀小批量梯度下降（Mini-Batch GD）
🍀如何选择学习率？
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网格搜索：尝试不同的学习率值，通过验证集的性能来选择最佳值。
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学习率衰减：开始时使用较大的学习率，随着训练的进行逐渐减小学习率。
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自适应学习率：使用自适应学习率算法，如Adam、Adagrad或RMSprop，它们可以自动调整学习率以适应梯度的变化。
🍀梯度下降的相关数学公式
本人数学不好，这里有说的不清楚的地方还请见谅，谢谢佬~
首先我们通过图像认识一下损失函数
这里的步长指的是，可能有些人会好奇为啥有一个负号呢？因为对称轴左侧的导数都是负值，这里加一个负号不就正了嘛
🍀梯度下降的实现（代码）
首先我们导入我们需要的库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
之后我们需要举一个例子，这里我们采用numpy里面的一个分割函数linspace，同时我们举一个函数的例子
plt_x = np.linspace(-1,6,141)
plt_y = (plt_x-2.5)**2-1
之后我们使用show进行展示一下图像
plt.plot(plt_x,ply_y)
plt.show()
运行结果如下
接下来我们需要两个函数，一个为了返回导数，一个为了返回对应的y值
def dj(thera):
return 2*(thera-2.5) # 求导
def j(thera)
return (thera-2.5)**2-1 # 求对应的值
接下来是梯度下降的关键位置了，这里我们需要初始化两个参数以及一个范围参数，同时设置一个while循环，将前一个thera保存在last_thera中，后一个thera是前一个thera和步长的差值，这里的步长就是梯度个参数eta的乘积，最后使用if函数来终结循环，最终我们将最小值点的值、导数、以及自变量打印出来
eta = 0.1
theta =0.0
epsilon = 1e-8
while True:
gradient = dj(theta)
last_theta = theta
theta = theta-gradient*eta
if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
break
print(theta)
print(dj(theta))
print(j(theta))
运行结果如下
这里我们也可以使用列表来看看到底进行了多少次thera的循环
eta = 0.1
theta =0.0
epsilon = 1e-8
theta_history = [theta]
while True:
gradient = dj(theta)
last_theta = theta
theta = theta-gradient*eta
theta_history.append(theta)
if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
break
print(theta)
print(dj(theta))
print(j(theta))
len(theta_history)
运行结果如下
还可以绘制图像进行直观查看
plt.plot(plt_x,plt_y)
plt.plot(theta_history,[(i-2.5)**2-1 for i in theta_history],color='r',marker='*')
plt.show()
运行结果如下
这样的话就很直观了吧~
🍀总结
