题目 1255: 蓝桥杯算法提高-能量项链
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题目描述
在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标 记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗 能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为mrn（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m， 尾标记为n。
需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号◎表示两颗珠子的聚合操作，(j◎k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：
(4◎1)=1023=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4◎1)◎2)◎3）=1023+1035+10510=710。
输入
第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行 是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i〈N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗 珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出
只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量
样例输入
4
2 3 5 10
样例输出
710
思路和代码：
思路：
可以发现问题具有最优子结构，明确动态数组的含义是从i珠子第一个结合求出的i-j珠子结合的最大能量值
再得到动态规划的递推式：
dp[begin][end] = max(dp[begin][end], dp[begin][k%N]+dp[(k+1)%N][end]+ls[begin]*ls[(k+1)%N]*ls[(end+1)%N])[j]+ls[i]*ls[k]*ls[j])
总结：
一、动态规划划分子问题：子问题有可能是都从0开始，此时动态规划只需要一维数组；
二、但如果子问题可能包含多个不从0开始的部分子问题，则应该是二维数组。（就像这题）
三、而分析这道题的解的过程时会发现它的解可以是任意顺序合并子问题。这种任意顺序合并的，最后常常归结到任意断点的两个序列的合并。（一般是求max或min，并且不是简单的相加合并，还会有一些合并所需的项如这题的ls[begin]*ls[(k+1)%N]*ls[(end+1)%N])[j]+ls[i]*ls[k]*ls[j]）。
**四、遍历构建dp数组顺序的确定。**遍历构建数组要根据子问题的依赖关系。若此下标问题依赖于前面下标子问题，则按下标遍历；
而这道题依赖的是下标范围内不同长度链的结果，就是说依赖于更小长度链的结果，应该按照长度来更新（如代码的最外层为长度）。
N = int(input())
ls = [int(x) for x in input().split()]
dp = [[0 for i in range(N)] for j in range(N)]
# l 是子问题珠子数量
for l in range(2, N+1):
# begin是起始点
for begin in range(N):
end = (begin+l-1)%N
# 可能的分割点共l-1个（因为取到最后一个就和要求的一样了）,k为分割点位置，因为可能数组越界所以用%N模拟一整圈
for k in range(begin, begin+l-1):
dp[begin][end] = max(dp[begin][end], dp[begin][k%N]+dp[(k+1)%N][end]+ls[begin]*ls[(k+1)%N]*ls[(end+1)%N])
Max = 0
for i in range(N):
Max = max(Max, dp[i][(i-1)%N])
print(Max)
